Funkcja jednostajnie ciągła: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
drobne redakcyjne |
→Własności funkcji jednostajnie ciągłych: ograniczonosć |
||
Linia 26:
:Twierdzenie to jest kryterium pozwalającym sprawdzić czy dana funkcja ''nie'' jest jednostajnie ciągła. Rozważmy następujący przykład. Niech ''f'': (''a'', ''b'') → ℂ będzie dana wzorem ''f''(''x'') = 1 / ''x''. Wówczas <math>(1/n)_{n\in\mathbb{N}}</math> jest ciągiem Cauchy'ego, podczas gdy <math>(f(1/n))_{n\in\mathbb{N}}</math> nie jest ciągiem Cauchy'ego. Stąd wynika, że ''f'' nie jest jednostajnie ciągła. Jest to przykład funkcji ciągłej, która nie jest jednostajnie ciągła.
3. Niech (''X'', ''ϱ'') będzie [[zbiór całkowicie ograniczony|całkowicie ograniczoną przestrzenią metryczną]] (np. ''X'' jest ograniczonym przedziałem liczb rzeczywistych). Wówczas każda funkcja jednostajnie ciągła ''f'': ''X'' → ℂ jest ograniczona.
3. Jeśli funkcja spełnia [[warunek Lipschitza]], to jest jednostajnie ciągła.▼
: ''Dowód''. Dla ''ε'' = 1 niech ''δ'' > 0 będzie takie, iż dla dowolnych ''x'', ''y'' ∈ ''X'' spełniających warunek ''ϱ''(''x'', ''y'') < ''δ'' zachodzi oszacowanie |''f''(''y'') - ''f''(''x'')| < 1. Niech ''K''<sub>1</sub>, ''K''<sub>2</sub>, ..., ''K''<sub>''n''</sub> będzie ciągiem kul otwartych o promieniu ''δ'', których suma jest równa ''X''. Niech ''x''<sub>''i''</sub> będzie środkiem ''K''<sub>''i''</sub> (''i'' ≤''n''). Niech
:: ''M'' = max{ |''f''(''x''<sub>''i''</sub>)|: ''i'' ≤ ''n'' }.
4. Każda [[funkcja ciągła]] na [[przestrzeń zwarta|przestrzeni zwartej]] jest jednostajnie ciągła ('''[[Twierdzenie Heinego-Cantora]]''').▼
:Ustalmy ''y'' ∈ ''X''. Wówczas ''y'' ∈ ''K''<sub>''i''<sub>''y''</sub></sub> dla pewnnego ''i''<sub>''y''</sub> ≤ ''n''. Ostatecznie
:: |''f''(''y'') | = |''f''(''y'') - ''f''(''x''<sub>''i''<sub>''y''</sub></sub>) + ''f''(''x''<sub>''i''<sub>''y''</sub></sub>) | ≤ 1 + ''M'',
: co dowodzi ograniczoności ''f''.
5. W szczególności, każda funkcja określona i ciągła na [[przedział domknięty|przedziale domkniętym]] [''a'', ''b''] jest jednostajnie ciągła. Na [[Przedział otwarty|przedziale otwartym]] już tak nie musi być, na przykład funkcja ''f''(''x'') = 1 / ''x'' na przedziale (0, 1) jest ciągła, ale nie jest jednostajnie ciągła. Jeśli jednak granice funkcji na otwartych końcach przedziału istnieją, to na takim przedziale funkcja również będzie jednostajnie ciągła.▼
▲
▲
== Uogólnienie na przestrzenie liniowo-topologiczne ==
| |||