Pochodna kierunkowa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Redacja treści nieznaczna. |
|||
Linia 14:
i załóżmy, że gradient ten istnieje (tzn. że jeżeli <math>f</math> jest [[pochodna|różniczkowalna]] w punkcie <math>\mathbf x</math>). Wtedy pochodną kierunkową można obliczyć z [[Iloczyn skalarny|iloczynu skalarnego]] gradientu i wektora <math>\mathbf u</math>
: <math>\nabla_\mathbf u f(\mathbf x)=
\nabla f(\mathbf x) \cdot \mathbf u</math>
Definicja pochodnej w kierunku niejednostkowego (i niezerowego) wektora <math>\mathbf v</math> ma postać:
: <math>\frac{\partial f}{\partial \mathbf v}(\mathbf x) = \lim_{t \to 0^+} \frac{f(\mathbf x + t\mathbf v) - f(\mathrm x)}{t|\mathbf v|},</math>
gdzie <math>|\mathbf v|</math> oznacza długość wektora <math>\mathbf v</math>. Gdy <math>f</math> jest różniczkowalna w punkcie <math>\mathrm x</math>, to analogicznie jak dla pochodnej w kierunku wektora jednostkowego mamy
: <math>
: <math>\frac{\partial f}{\partial \mathbf v}(\mathbf x) = \operatorname D\!f(\mathbf x)\left(\tfrac{\mathbf v}{|\mathbf v|}\right).</math>▼
\nabla_\mathbf v f(\mathbf x)=
\nabla f(\mathbf x) \cdot \frac{\mathbf v}{|\mathbf v|}</math>
czyli pochodna ta jest identyczna jak dla wektora jednostkowego.
Definicja pochodnej kierunkowej dla wektorów niejednostkowych jest niezgodna z notacją używaną w pozostałych działach matematyki, gdzie oczekuje się, iż pochodne [[algebra różniczkowa|algebry różniczkowej]] tworzą [[przestrzeń liniowa|przestrzeń liniową]].
Istnieje wiele różnych oznaczeń pochodnej kierunkowej, wśród nich:▼
Dla bardziej ogólnego przypadku [[Pochodna Frécheta#Przypadek skończeniewymiarowy|pochodnej Frécheta]] <math>\operatorname D\! f(\mathbf x)</math> pochodną kierunkową wyznacza wzór:
: <math>\frac{\partial f(\mathbf x)}{\partial \mathbf u} = \operatorname D\!f(\mathbf x)(\mathbf u).</math>
▲Istnieje wiele różnych oznaczeń pochodnej kierunkowej, wśród nich:
▲: <math>\
== Przykład ==
Ponieważ dla funkcji <math>f(x, y) = x + xy - y^2</math> jest
Linia 37 ⟶ 38:
== Własności ==
Pochodna kierunkowa ma wiele znanych własności zwykłej [[pochodna|pochodnej]]. Wśród nich, dla funkcji <math> f</math> i <math> g</math> określonych w [[otoczenie (matematyka)|otoczeniu]] <math>\mathbf x</math>, w którym funkcje te są również [[pochodna zupełna|różniczkowalne]], słuszne są reguły:
* reguła sumy: <math>\nabla_\mathbf v ( f + g) = \nabla_\mathbf v f + \nabla_\mathbf v g;</math>
* reguła stałej: dla dowolnej stałej <math>c\in R</math> zachodzi <math>\nabla_\mathbf v (c f) = c\nabla_\mathbf v f;</math>
*
* [[reguła łańcuchowa]]: jeśli <math>g</math> jest różniczkowalna w <math>\mathbf x</math> zaś <math>h</math> jest różniczkowalna w <math>g(\mathbf x)</math> to
*: <math>\nabla_\mathbf v ( h \circ g)(\mathbf x) = \nabla h\bigl(g(\mathbf x)\bigr) \nabla_\mathbf v g(\mathbf x)</math>
| |||