Transformacja Laplace’a: Różnice pomiędzy wersjami

Niech X oznacza przestrzeń funkcji, dla których powyższa całka (zwana całką Laplace’a) jest zbieżna. Wtedy funkcję <math>X \ni f \to \mathcal{L}(f) </math> nazywamy '''transformacją Laplace’a'''

Warunkiem dostatecznym jest istnienie funkcji, która [[majoryzacja|majoryzuje]], czyli ogranicza wykładniczo funkcję <math>f(t)</math>: istnieje takie <math>M</math> oraz <math>d</math>, orazi <math>t_{0}</math>, że zachodzi nierówność:

<math>|f(t)|<Me^{dt}</math>, dla <math>t>t_{0}</math>.

Wykresy funkcji poddanych przekształceniu Laplace’a przedstawia się na [[płaszczyzna zespolona|płaszczyznie zespolonej]] (tzw. [[Płaszczyzna S|płaszczyźnie 's'S]]). Płaszczyzna 's'S jest to matematyczna dziedzina, w której zamiast spoglądać na procesy w [[dziedzina czasu|dziedzinie czasu]], gdzie modeluje się je za pomocą funkcji czasu, widzi się je jako równania w [[dziedzina częstotliwości|dziedzinie częstotliwości]].

JednymJeden ze sposobów na zrozumienie co otrzymuje się w wyniku takiego działania polega na zwróceniu się ku [[Transformacja Fouriera|analizie Fouriera]]. W analizie Fouriera krzywe [[harmoniczna|harmoniczne]] [[funkcje trygonometryczne|sinus]] i [[funkcje trygonometryczne|cosinus]] (z [[wzór Eulera|wzoru Eulera]] mamy bowiem <math>e^{ix} = \cos x + i\sin x\,</math>,; zob. też [[szereg Fouriera]]) mnożone są przez sygnał i wynikowe całkowanie dostarcza wskazówki na temat sygnału obecnego dla danej częstotliwości (na przykład energii sygnału dla danego punktu w dziedzinie częstotliwości, zob. też [[widmo sygnału]]).

Transformacja 's'S (powszechnie określana mianem transformacji Laplace’a) wykonuje podobne działanie, ale o bardziej ogólnym charakterze. Wyrażenie <math>e^{-st}\,</math> ujmuje nie tylko częstotliwości, ale również rzeczywiste efekty <math>e^{-t}\,</math>. Transformacja 's'S uwzględnia więc nie tylko [[charakterystyka częstotliwościowa|przebiegi częstotliwościowe]], ale także efekty o charakterze zaniku. Na przykład [[Drgania tłumione|krzywa sinusoidalna tłumiona]] może być odpowiednio zamodelowana za pomocą transformacji 's'S. Transformacja Laplace’a stanowi więc uogólnienie [[Transformacja Fouriera|transformacji Fouriera]]. Ściślej przekształcenie Fouriera stanowi szczególny przypadek przekształcenia Laplace’a dla <math>s=j\omega</math>. Podobnie [[transformata Z]] stanowi uogólnienie [[dyskretna transformata Fouriera|dyskretnej transformaty Fouriera]].

Powiązanie transformaty Laplace’a z [[transformata Z|transformatą Z]] zob. [[metoda Tustina]].

: <math>\mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}\{f\} - f(0^+)</math>, gdzie <math>f(0^+)</math> oznacza granicę prawostronną funkcji ''<math>f(t)''</math> w punkcie ''<math>t =0''</math>

: <math>\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) 1(t - a)</math>,

gdzie '''<math>1'''(''t'')</math> oznacza [[Funkcja skokowa Heaviside'a|skok jednostkowy]].

gdzie <math>\gamma</math> -– [[stała Eulera]]

: <math>\mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)\right\} = f(t)</math>, jeżeli <math>F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}</math>.

Transformata Laplace’a posiada kilka własności, które czynią ją szczególnie użyteczną w analizie [[układ liniowy|liniowych]] [[układ dynamiczny|układów dynamicznych]]. W inżynierii i [[fizyka|fizyce]] jako narzędzie analizy graficznej wykorzystywana jest [[płaszczyzna S]]. Na płaszczyźnie S, mnożenie przez <math>s\,</math> daje efekt [[różniczka|różniczkowania]] (zob. [[człon różniczkujący]]), dzielenie przez <math>s\,</math> daje efekt [[całka|całkowania]] (zob. [[człon całkujący]]). Analiza pierwiastków [[Liczby zespolone|zespolonych]] równania na płaszczyźnie 's'S i przedstawienie ich na [[płaszczyzna zespolona|wykresie Arganda]], może ujawnić informacje na temat [[charakterystyka częstotliwościowa|charakterystyk częstotliwościowych]] i na temat [[Stabilność układu automatycznej regulacji|stabilności układu]] (przebieg rzeczywistej funkcji czasu).

W [[Unicode|Unikodzie]] znaksymbol transformaty Laplace'a ma postać: