Funkcja gęstości prawdopodobieństwa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
MichalTrws (dyskusja | edycje) Merytoryczne/Sensowna definicja |
m →Wybrane własności w przypadku dwuwymiarowym: drobne techniczne |
||
Linia 28:
=== Pole powierzchni pod funkcją ===
Pole powierzchni bryły ograniczonej od góry funkcją gęstości, a od dołu płaszczyzną <math>z=0</math> jest zawsze równe <math>1</math>, dlatego dla funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa dwóch zmiennych prawdziwe jest równanie:
: <math>\int\limits_{-\infty}^\infty \int\limits_{-\infty}^\infty f(x, y)\ dy\ dx = 1</math>▼
▲<math>\int\limits_{-\infty}^\infty \int\limits_{-\infty}^\infty f(x, y)\ dy\ dx = 1</math>
Pamiętając, że całka z <math>0</math> wynosi <math>0</math>:
: <math>\int\limits_{-\infty}^\infty \int\limits_{-\infty}^\infty 0\ dy\ dx = 0</math>▼
▲<math>\int\limits_{-\infty}^\infty \int\limits_{-\infty}^\infty 0\ dy\ dx = 0</math>
można zawęzić oznaczenia obu całek do niezerowych obszarów funkcji gęstości:
: <math>\int\limits_{startX}^{endX} \int\limits_{startY}^{endY} f(x, y)\ dy\ dx = 1</math>▼
▲<math>\int\limits_{startX}^{endX} \int\limits_{startY}^{endY} f(x, y)\ dy\ dx = 1</math>
Powyższą własność wykorzystuje się przy obliczaniu brakującego składnika funkcji gęstości.
Linia 44 ⟶ 40:
Suma prawdopodobieństw wszystkich wartości z przedziału jest równa wartości całki z funkcji gęstości oznaczonej granicami przedziałów:
: <math>P(a < X < b, c < Y < d) = \int\limits_{a}^{b} \int\limits_{c}^{d} f(x, y)\ dy\ dx</math>
=== Niezależność zmiennych losowych ===
Zmienne losowe <math>X, Y</math> posiadające swoje funkcje gęstości
: <math>
▲<math>f_2(y) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(x,y)\ dx</math>
są niezależne jeżeli funkcja <math>f(x,y)</math> jest gęstością wektora losowego <math>(X, Y)</math>, czyli prawdziwe jest równanie:
: <math>f(x, y)=f_1(x)\cdot f_2(y)</math>▼
▲<math>f(x, y)=f_1(x)\cdot f_2(y)</math>
== Mechanika kwantowa ==
| |||