Dyfeomorfizm: Różnice pomiędzy wersjami

[[Plik:Diffeomorphism of a square.svg|right|thumb|
y
Obraz siatki prostokątnej na kwadracie w przekształceniu dyfeomorficznym kwadratu na siebie.]]

Niech <math>X</math> i <math>Y</math> będą [[przestrzeń unormowana|przestrzeniami unormowanymi]] oraz niech <math>D</math> będzie [[zbiór pusty|niepustym]], [[Zbiór otwarty|otwartym]] [[podzbiór|podzbiorem]] otwartymprzestrzeni <math>X</math>.

Przekształcenie <math>F\colon D \to Y</math> nazywane jest '''dyfeomorfizmem''', gdy

# [[obraz (matematyka)|obraz]] <math>F(D)</math> jest podzbiorem otwartym podzbiorem <math>Y</math>,

# <math>F</math> i <math>F^{-1}</math> (jakosą funkcjaklasy określona<math>C^{1}</math> na(gdzie <math>F^{-1}\colon F(D) \to D</math> są klasyjest funkcją odwrotną do <math>C^{1}F</math> ) .

Z powyższej definicji tej wynika, że jeśli <math>F</math> jest dyfeomorfizmem, to <math>F</math> i <math>F^{-1}</math> są [[odwzorowanie regularne|odwzorowaniami regularnymi]]. Inaczej, każde [[bijekcja|odwracalne]] odwzorowanie regularne jest dyfeomorfizmem. Każdy dyfeomorfizmDyfeomorfizm jest szczególnym przypadkiem [[homeomorfizm]]em.

W szczególnym przypadku, gdyGdy <math>X=\mathbb R^{m}</math>, <math>Y=\mathbb R^{k}</math>, to dyfeomorfizmy tosą po prostu zanurzeniazanurzeniami homeomorficznehomeomorficznymi klasy <math>C^1</math> o [[różniczka|różniczce]] maksymalnego [[rząd (algebra liniowa)|rzędu]], których funkcja odwrotna jest klasy <math>C^1</math> w obrazie.

; Dyfeomorfizm biegunowy : Niech <math>B = ( 0,+\infty) \times (-\pi,( 0, \pi) \subset \mathbb R^2</math>. Funkcja określona wzorem <math>b(r,\phi)=(r\cdot\cos \phi, r\cdot\sin \phi)</math> przeprowadza <math>B</math> na [[obszar]] <math>\mathbb R^2 \setminus \left\{(x, 0) \in \mathbb R^2: x \leqslant 0\right\}</math>. Ten dyfeomorfizm wprowadza [[układ współrzędnych biegunowych|współrzędne biegunowe]]. [[Jakobian]] tego przekształcenia <math>J_B = r</math>.

; Dyfeomorfizm sferyczny : Niech <math>S = \langle( 0,+\infty) \times \langle( 0,2\pi) \times \langle( 0, \pi ) \subset \mathbb R^3</math>. Funkcja określona wzorem <math>s(r, \phi, \theta) = \left(\,r\cdot \cos\phi \cdot \sin\theta , \,r \cdot \sin\phi\cdot \sin\theta, r\cdot\cos\theta \right)</math> przeprowadza zbiór <math>S</math> na obszarzbiór <math>\mathbb R^3 \setminus \left\{(x, y, z) \in \mathbb R^3: x \leqslant 0, y=0\right\}</math>. Dyfeomorfizm ten wprowadza [[sferyczny układ współrzędnych|współrzędne sferyczne]]. Jakobian tego przekształcenia wynosi <math>J_S = r^2 \cos \theta</math> .

; Dyfeomorfizm walcowy : Niech <math>W = \langle( 0,+\infty) \times \langle( 0,2\pi) \times \mathbb R \subset \mathbb R^3</math>. Funkcja określona wzorem <math>w(\rho, \phi, z) = (\rho\cdot\cos \phi, \rho\cdot\sin \phi, z)</math> przeprowadza <math>W</math> na obszar <math>\mathbb R^3 \setminus \left\{(x,y,z) \in \mathbb R^3: x \leqslant 0, y=0\right\}</math>. Ten dyfeomorfizm wprowadza [[walcowy układ współrzędnych|współrzędne walcowe]]. Jakobian tego przekształcenia również wynosi <math>J_W = \rho</math>.