Liczby rzeczywiste: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Definicje i konstrukcje: uzupełnienie o jeszcze jedną konstrukcję |
→Definicje i konstrukcje: wstawiam kompletną aksjomatykę R |
||
Linia 19:
== Definicje i konstrukcje ==
{{osobny artykuł|Aksjomaty i konstrukcje liczb}}
Liczby rzeczywiste ℝ można zdefiniować [[Aksjomaty i konstrukcje liczb#Liczby rzeczywiste|akjomatycznie]].
Jest to struktura algebraiczna <math>(\mathbb{R}, +, \cdot, 0, 1, \leqslant)</math> spełniającą następujące aksjomaty:
# <math>(\mathbb{R}, +, \cdot, 0, 1)</math> jest [[ciało (matematyka)|ciałem]],
# <math> \leqslant</math> jest [[porządek liniowy|porządkiem liniowym]] spełniającym dodatkowo warunki:
#*jeśli ''x'' ≥ ''y'', to ''x'' + ''z'' ≥ ''y'' + ''z'';
#*jeśli ''x'' ≥ 0 i ''y'' ≥ 0, to ''xy'' ≥ 0.
# spełniony jest [[aksjomat ciągłości]]: każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór <math>\mathbb R</math> ma [[Kres dolny i górny|kres górny]].
Ponieważ aksjomatyka nie gwarantuje istnienia obiektu spełniającego te aksjomaty, przeprowadza się konstrukcje liczb rzeczywistych biorące za punkt wyjścia [[liczby wymierne]].
Istnieją trzy klasyczne sposoby konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych:
* za pomocą [[Przekrój Dedekinda|przekrojów Dedekinda]],
* za pomocą [[Ciąg Cauchy’ego|ciągów Cauchy’ego]] liczb wymiernych.
* za pomocą [[ciąg (matematyka)|ciągów nieskończonych]], w których pierwszym wyrazem jest dowolna [[liczba całkowita]], wszystkie następne są [[liczba naturalna|liczbami naturalnymi]] ze zbioru {0,1,...,9}. Ta metoda jest ściśle związana z reprezentacją liczb rzeczywistych w postaci
== Niektóre własności ==
| |||