Funkcja jednostajnie ciągła: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Własności funkcji jednostajnie ciągłych: drobne redakcyjne |
drobne merytoryczne |
||
Linia 20:
3. Niech (''X'', ''ϱ'') będzie [[zbiór całkowicie ograniczony|całkowicie ograniczoną przestrzenią metryczną]] (np. ''X'' jest ograniczonym przedziałem liczb rzeczywistych). Wówczas każda funkcja jednostajnie ciągła ''f'': ''X'' → ℂ jest ograniczona.
: ''Dowód''. Dla ''ε'' = 1 niech ''δ'' > 0 będzie takie, iż dla dowolnych ''x'', ''y'' ∈ ''X'' spełniających warunek ''ϱ''(''x'', ''y'') < ''δ'' zachodzi oszacowanie | ''f''(''y'') - ''f''(''x'') | < 1. Niech ''K''<sub>1</sub>, ''K''<sub>2</sub>, ..., ''K''<sub>''n''</sub> będzie ciągiem kul otwartych o promieniu ''δ'', których suma jest równa ''X''. Niech ''x''<sub>''i''</sub> będzie środkiem ''K''<sub>''i''</sub> (''i'' ≤''n''). Niech
:: ''M'' = max{ | ''f''(''x''<sub>''i''</sub>) |: ''i'' ≤ ''n'' }.
Linia 37:
Niech <math>U,V</math> będą [[przestrzeń liniowo-topologiczna|przestrzeniami liniowo-topologicznymi]]. Mówimy, że odzworowanie <math>f\colon U\longrightarrow V</math> jest jednostajnie ciągłe, jeśli dla każdego [[Otoczenie (matematyka)|otoczenia]] <math>B</math> zera przestrzeni <math>V</math> istnieje otoczenie <math>A</math> zera przestrzeni <math>U</math> takie, że dla każdych <math>v_1,v_2\in A</math>
: <math>v_1-v_2\in A \Rightarrow f(v_1)-f(v_2)\in B.</math>
==Bibliografia==
* J.B. Conway, ''Functions of One Complex Variable I'' (Graduate Texts in Mathematics '''11'''). Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3, ss. 25–28.
* S.C. Malik, ''Principles of Real Analysis'', New Age International, 1982, ss. 127–129.
== Zobacz też ==
| |||