Funkcja gęstości prawdopodobieństwa: Różnice pomiędzy wersjami

Każda [[funkcja dodatnia|nieujemna]] funkcja borelowska <math>f</math>, spełniająca powyższy warunek, jest gęstością jakiegoś rozkładu prawdopodobieństwa <math>P</math>.

 

'''Tw.''' '''3''' (o obliczaniu dystrybuanty)

 

'''Tw. 5''' Jeśli <math>F</math> jest dystrybuantą, to jest ona prawie wszędzie [[Pochodna|różniczkowalna]] oraz jeśli <math>F^\prime</math> (określona prawie wszędzie) jest prawie wszędzie różna od zera, to jest ona gęstością.

 

'''Tw. 6''' Jeżeli <math>X</math> jest jednowymiarową zmienną losową o rozkładzie ciągłym z gęstością <math>f(x)</math>, to jej [[wartość oczekiwana]] wyraża się wzorem:

: <math>E(X)=\int\limits_{-\infty}^\infty x f(x) dx</math>.

'''b)''' Jeśli ponadto obydwie zmienne losowe mają rozkłady ciągłe, to gęstość ich sumy jest [[splot (matematyka)|splotem]] ich gęstości.

 

=== Objętość bryły ograniczonej funkcją gęstości ===

'''Tw. 8''' [[Objętość]] bryły ograniczonej od góry funkcją gęstości dwóch zmiennych, a od dołu płaszczyzną <math>z=0</math> jest zawsze równe <math>1</math>, tzn.