Wikipedia

Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja nieprzejrzana][wersja nieprzejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
oh well...
Beaumont (dyskusja | edycje)
2402 edycje
→‎Szkic dowodu: drobne usprawnienie pisaniny
Linia 18:
 
==Szkic dowodu==
Mierzalność funkcji granicznej jest zwykle dowodzona osobno i nie będziemy tu o niejtego komentować. Załóżmy więc, że są spełnione warunki (a)-(e). Jak wspomnieliśmy, ''f'' jest mierzalna. Ponieważ ciąg <math>\left(\int f_n d\mu\right)_{n\in {\mathbb N}}</math> jest [[ciąg monotoniczny|monotonicznie]] rosnący i ograniczony z góry (na mocy założeń (c) i (e)), więc jest on zbieżny. Niech <math>C=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu</math>.
 
Przypuśćmy, że <math>h:X\longrightarrow {\mathbb R}</math> jest całkowalną [[funkcja prosta|funkcją prostą]] taką, że <math>0\leq h\leq f</math>. Ustalmy na jakiś czas liczbę <math>\alpha\in (0,1)</math>. Dla liczby naturalnej <math>n\in {\mathbb N}</math> połóżmy
:<math>A_n=\{x\in X: \alpha\cdot h(x)\leq f_n(x)\}</math>.
 
Oczywiście, <math>A_n\in {\mathcal F}</math> (jako że zarówno <math>f_n</math> jak i ''<math>h''</math> są mierzalne) oraz <math>A_n\subseteq A_{n+1}</math> (używamy tu założenia (c)). Ponieważ <math>\alpha\cdot h(x)<f(x)</math> ilekroć <math>f(x)>0</math>, to używając założenia (d) widzimy, że <math>X=\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n</math>. Zauważmy, że
:(i)&nbsp;&nbsp;<math>\alpha\cdot\int_{A_n} h\ d\mu\leq \int_{A_n} f_n\ d\mu\leq \int f_n\ d\mu</math>.
Następnie, pamiętając że ''h'' jest funkcją prostą, sprawdza się że
:(ii)&nbsp;&nbsp;<math>\lim\limits_{n\to\infty}\int_{A_n} h\ d\mu=\int_{\bigcup_{n=1}^\infty A_n} h\ d\mu=\int h\ d\mu</math>.
Przechodząc do granicy z ''n'' do granicy w (i) i używając (ii) otrzymujemy
:<math>\alpha\cdot\int h\ d\mu\leq C</math>.
Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla każdej liczby <math>\alpha\in (0,1)</math>, to otrzymujemy iż <math>\int h\ d\mu\leq C=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu</math>.
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Lebesgue’a_o_zbieżności_monotonicznej”