Homeomorfizm: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
bardzo nieścisłe; homotopie to przekształcenia funkcji, nie przestrzeni, trudno je porównywać - usuwam |
→Przykłady: drobne redakcyjne, drobne merytoryczne |
||
Linia 56:
== Przykłady ==
# Okrąg jest homeomorficzny z dowolną [[łamana zamknięta|łamaną zamkniętą]] [[łamana zwyczajna|zwyczajną]]. Koło jest homeomorficzne z dowolnym wielokątem.
# Okrąg nie jest homeomorficzny z żadnym odcinkiem (przedziałem domkniętym).
:: ''Dowód''. Jeżeli ''f'': [''a'', ''b''] → ''S''<sup>1</sup> jest homeomorfizmem pomiędzy odcinkiem [''a'', ''b''] a okręgiem ''S''<sup>1</sup>, to restrykcja
::: <math>f|_{(a,b)}\colon (a,b) \to S^1 \setminus \{f(a), f(b)\}</math>
:: jest funkcją ciągłą. Przedział (''a'', ''b'') jest [[zbiór spójny|spójny]], więc z ciągłości obraz zbioru (''a'', ''b'') poprzez ''f'' jest również spójny. Funkcja ''f'' jest różnowartościowa, więc ''f''(''a'') ≠ ''f''(''b''), a okrąg po usunięciu dwóch punktów przestaje być przestrzenią spójną, sprzeczność.
# Dowolne dwa odcinki otwarte są homeomorficzne ze sobą.
#
:: ''Dowód''. Funkcja dana wzorem
::: <math>f(x) = \frac{2}{\pi}\cdot {\rm arctan}\, x</math>
:: jest ciągłą bijekcją, której funkcja odwrotna jest również ciągła.
# Sfera (powierzchnia trójwymiarowej kuli) jest homeomorficzna z powierzchnią dowolnego [[Wielościan|wielościanu]].
# Żadne dwie powierzchnie spośród następujących nie są homeomorficzne: koło, sfera, [[pierścień kołowy]], powierzchnia [[torus]]a.
# Żaden
:: ''Dowód''. Przedział domknięty jest zwarty. Gdy przedział nie zawiera jednego ze swoich końców nie jest on zwarty, a więc nie może być homeomorficzny ze zbiorem zwartym jakim jest przedział domknięty.
'''Uwagaː'''
| |||