Ortogonalność: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Prostopadłość wektorów w przestrzeni trójwymiarowej: art. jest o ortogonalności, więc trzeba skojarzyć prostopadłość geometr. z tą ortogonalnością; uściślam fragment dowodu |
przesuwam sekcję z ortogonalnością wektorów za sekcję z definicją - to ma być ilustracja definicji |
||
Linia 2:
{{spis treści}}
'''Ortogonalność''' (z gr. ''ortho'' – prosto, prosty, ''gonia'' – kąt) – uogólnienie pojęcia [[prostopadłość|prostopadłości]] znanego z [[geometria euklidesowa|geometrii euklidesowej]] na abstrakcyjne [[przestrzeń (matematyka)|przestrzenie]] z określonym [[iloczyn skalarny|iloczynem skalarnym]], jak np. [[przestrzeń unitarna|przestrzenie unitarne]] (w tym [[przestrzeń Hilberta|przestrzenie Hilberta]]) czy [[przestrzeń ortogonalna|przestrzenie ortogonalne]]. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na [[przestrzeń unormowana|przestrzenie unormowane]] w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego ([[ortogonalność w sensie Pitagorasa]], [[ortogonalność w sensie Jamesa]], [[ortogonalność w sensie Birkhoffa]], [[T-ortogonalność]])<ref>Roman Ger: ''Orthogonalities in linear spaces and difference operators'', Aequationes Mathematicae Volume 60, Number 3, 268-282, [http://www.springerlink.com/content/4ym3ed4368kcdxp5/ DOI:10.1007/s000100050153]</ref>.
== Definicja ==▼
Elementy <math>x</math> i <math>y</math> [[przestrzeń unitarna|przestrzeni unitarnej]] <math>X</math> z iloczynem skalarnym <math>\langle \cdot, \cdot\rangle</math> nazywa się '''ortogonalnymi''', gdy ▼
: <math>\langle x, y \rangle = 0.</math>▼
Relację <math>\langle x, y \rangle = 0</math> zapisuje się symbolicznie <math>x\perp y</math>. Podzbiór <math>A</math> przestrzeni unitarnej <math>X</math> nazywa się '''układem ortogonalnym''', gdy każde dwa różne jego elementy są ortogonalne.▼
== Ortogonalność wektorów w przestrzeni trójwymiarowej ==
Linia 19 ⟶ 24:
: <math>a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 0\,</math>.
Lewa strona powyższej równości pokrywa się ze wzorem na [[iloczyn skalarny]] wektorów <math>a</math> i <math>b</math> w przestrzeni trójwymiarowej.
▲== Definicja ==
▲Elementy <math>x</math> i <math>y</math> [[przestrzeń unitarna|przestrzeni unitarnej]] <math>X</math> z iloczynem skalarnym <math>\langle \cdot, \cdot\rangle</math> nazywa się '''ortogonalnymi''', gdy
▲: <math>\langle x, y \rangle = 0.</math>
▲Relację <math>\langle x, y \rangle = 0</math> zapisuje się symbolicznie <math>x\perp y</math>. Podzbiór <math>A</math> przestrzeni unitarnej <math>X</math> nazywa się '''układem ortogonalnym''', gdy każde dwa różne jego elementy są ortogonalne.
== Przykłady ==
| |||