Wersja z 16:00, 24 lut 2014 edytuj 85.193.250.108 (dyskusja) →‎Przykład: poprawiono kolejność odejmowania przy obliczaniu całki nieoznaczonej ← poprzednia edycja		Wersja z 11:49, 18 lip 2017 edytuj anuluj edycję Loxley (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 9013 edycji na razie w takiej formie, potrzebne źródło na to że Hindusi to znali następna edycja →
Linia 1: '''Kryterium całkowe''' –(także ~~metoda~~'''kryterium ~~sprawdzania,~~całkowe ~~czy~~Maclaurina-Cauchy'ego'''{{odn\|Fichtenholz\|1966\|s=242}}) ~~nieskończony~~– [[~~szereg~~kryteria ~~(matematyka)~~zbieżności szeregów\|~~szereg~~kryterium zbieżności szeregów]] ~~liczbowy~~ o ~~nieujemnych~~ wyrazach ~~jest~~dodatnich ~~zbieżny~~oparte na idei porównywania danego szeregu z całką. Wczesna forma tego kryterium została odkryta w [[historia matematyki#Klasyczna matematyka indyjska .28ok. 400.E2.80.931600.29\|Indiach]] przez [[Madhawa\|Madhawę]] w [[XIV wiek]]u i jego następców ze [[szkoła w Kerali\|szkoły w Kerali]]. W Europie została później odkryta przez [[Colin Maclaurin\|Maclaurina]] i [[Augustin Louis Cauchy\|Cauchy'ego]] ~~i jest czasem nazywana kryterium Maclaurina-Cauchy'ego~~. == ~~Sformułowanie~~Kryterium == Niech ''f'': [1, ∞) → ℝ będzie funkcją [[funkcja dodatnia\|dodatnią]] i [[funkcja malejąca\|malejącą]]. Niech ponadto ''a''<sub>''n''</sub> = ''f''(''n'') dla każdego ''n''. Wówczas szereg Jeżeli [[funkcja]] <math>f\,(x)</math> jest [[funkcja dodatnia\|dodatnia]] i [[funkcja malejąca\|malejąca]] w przedziale <math>n_0\le x<+\infty</math> i jeżeli <math>f\,(n)=a_{n}</math> to [[szereg (matematyka)\|szereg]] <math> \sum_{n=n_0}^{+\infty}a_{n} </math> jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy [[całka]] <math> I=\int\limits_{n_0}^{\infty}f(x)\,dx </math> jest zbieżna. {{wzór\|<math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>\|A}} jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy [[całka niewłaściwa\|zbieżna]] jest [[całka niewłaściwa]] {{wzór\|<math>\int\limits_1^\infty f(x)\, {\rm d}x.</math>\|I}}{{odn\|Fichtenholz\|1966\|s=243}} == Dowód == Ponieważ funkcja ''f'' jest malejąca zachodzą nierówności ~~<math>f\,(x)\le a_k </math> dla <math> k\le x\le k+1</math> i <math> a_k\le f\,(x)</math> dla <math> k-1\le x\le k</math>,~~ * <math>f(x)\leqslant a_k </math> dla <math> k\leqslant x\leqslant k+1,</math> * <math>a_k\leqslant f(x)</math> dla <math> k-1\leqslant x\leqslant k.</math> Oznacza to, że ~~więc~~ :<math>\int\limits_k^{k+1}f(x)\,dx {\lerm d}x\leqslant a_k\leleqslant\int\limits_{k-1}^{k}f(x)\,~~dx</math>~~ ~~dla~~{\rm ~~<math>~~d}x\qquad(k\,=2,3\ldots),~~...~~</math>▼ a stąd ~~skąd~~ :<math>a_2 +~~...~~\ldots+a_n\leleqslant\int\limits_1^n f(x)\,dx {\lerm d}x\leqslant a_1 +~~...~~\ldots+ a_{n-1}.</math>▼ W przypadku, gdy całka {{LinkWzór\|I}} jest zbieżna, ciąg ▲więc <math>\int\limits_k^{k+1}f(x)\,dx\le a_k\le\int\limits_{k-1}^{k}f(x)\,dx</math> dla <math>k\,=2,3,...</math> : <math>\bigg( \int\limits_1^{k}f(x)\, {\rm d}x \bigg)_{k=1}^\infty</math> jest [[ciąg ograniczony\|ograniczony]], co pociąga ograniczoność ciągu sum częściowych ▲skąd <math>a_2 +...+a_n\le\int\limits_1^n f(x)\,dx\le a_1 +...+ a_{n-1}</math> : <math>\bigg(\sum_{k=1}^\infty a_k \bigg)_{k=1}^\infty</math> szeregu {{LinkWzór\|A}}. Ciąg ten jest także niemalejący (z założenia, że wyrazy szeregu {{LinkWzór\|A}} są nieujemne), więc jako ograniczony i niemalejący ciąg liczb rzeczywistych jest on zbieżny, a tym samym szereg {{LinkWzór\|A}} jest zbieżny. ~~czyli <math>s_n-a_1\le I_n\le s_{n-1}</math>.~~ W przypadku, gdy szereg {{LinkWzór\|A}} jest zbieżny, wyżej zdefiniowany ciąg całek częściowych jest również ograniczony, a więc zbieżny (do całki {{LinkWzór\|I}}) jako ograniczony i niemalejący ciąg liczb rzeczywistych. Jeżeli całka <math>I\,</math> jest zbieżna, to ciąg <math>(I_n)\,</math> jest ograniczony więc i ciąg <math>(s_n)\,</math> jest ograniczony, a przez to zbieżny. Jeżeli całka <math>I\,</math> nie istnieje, to ciąg <math>(I_n)\,</math>, a przez to ciąg <math>(s_{n-1})\,</math> jest rozbieżny. == Przykład == Dowód, że szereg Dowód, że szereg <math>\sum_{n=m}^\infty {1 \over \left(\prod\limits_{i=0}^{k-1} \ln^i(n)\right) \cdot (\ln^k(n))^s}</math>, gdzie <math>k\in\mathbb{N}</math>, <math>m>\exp^k(0)</math>, a <math>\ln^k(x)</math> oznacza <math>k</math>-krotne [[złożenie funkcji]] jest zbieżny dla <math>s>1</math> i rozbieżny dla <math>0<s\leq 1</math>. : <math>\sum_{n=m}^\infty {1 \over \left(\prod\limits_{i=0}^{k-1} \ln^i(n)\right) \cdot (\ln^k(n))^s},</math> gdzie <math>k\in\mathbb{N}</math>, <math>m>\exp^k(0)</math> jest zbieżny dla <math>s>1</math> i rozbieżny dla <math>0<s\leqslant 1</math>. Istotnie, dla <math>k=0</math> mamy Po pierwsze dla <math>k=0</math> mamy <math>\sum_{n=m}^\infty {1 \over n^s}</math>, gdzie <math>m>0</math>. Wyrazy tego szeregu są nieujemne i tworzą ciąg malejący, więc można zastosować kryterium całkowe. Zbieżność szeregu jest równoważna zbieżności całki ▼ : <math>\sum_{n=m}^\infty {1 \over n^s},</math> ▲~~Po pierwsze dla <math>k=0</math> mamy <math>\sum_{n=m}^\infty {1 \over n^s}</math>,~~ gdzie <math>m>0</math>. Wyrazy tego szeregu są nieujemne i tworzą ciąg malejący, więc można zastosować kryterium całkowe. Zbieżność szeregu jest równoważna zbieżności całki : <math>\int\limits_{m}^\infty {dx{\rm d}\,x \over x^s} = \int\limits_{m}^\infty {x^{-s}dx{\rm d}\,x} = \left[ {x^{-s+1} \over -s+1} \right]_{m}^\infty = \lim_{x \to \infty}~{x^{-s+1} \over -s+1} - {m^{-s+1} \over -s+1} =-\frac{m^{-s+1}}{-s+1}</math>, gdy <math>-s+1<0</math>, czyli gdy <math>s>1</math>. W ogólnym przypadku też można zastosować kryterium całkowe, a całka ma postać : <math>\int\limits_{m}^\infty{dx \over \left(\prod\limits_{i=0}^{k-1} \ln^i(x)\right) \cdot (\ln^k(x))^s}.</math>. Przez podstawienie <math>y=\ln(x)</math> otrzymujemy (<math>dy{\rm d}\,y=dx{\rm d}\,x/x</math>) : <math>\int\limits_{\ln(m)}^\infty{dy{\rm d}\,y \over \left(\prod\limits_{i=0}^{k-2} \ln^i(y)\right) \cdot (\ln^{k-1}(y))^s}</math>, czyli całkę dla <math>k-1</math>. Metodą [[indukcja matematyczna\|indukcji matematycznej]] można więc dowieść, że całki są zbieżne wtedy i tylko wtedy, kiedy <math>s>1</math>. Na mocy kryterium całkowego wynika stąd, że również szeregi spełniają ten warunek. {{Przypisy}} == ~~Zobacz też~~Bibliografia == # {{cytuj książkę \|imię=Grigorij Michajłowicz \|nazwisko=Fichtenholz\| autor link=Grigorij Fichtenholz\|autor lunk = Grigorij Fichtenholz\| tytuł=Rachunek różniczkowy i całkowy\| tom=2\| miejsce=Warszawa\| wydawca=PWN\| rok=1966\| odn=tak}} * [[kryteria zbieżności szeregów]] [[Kategoria:Szeregi]] [[Kategoria:Rachunek różniczkowy i całkowy]] [[Kategoria:Twierdzenia matematyczne\|całkowe Cauchy'ego-Maclaurina, kryterium]]

Kryterium całkowe: Różnice pomiędzy wersjami