Szereg harmoniczny: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
drobne redakcyjne |
→Dowód Bradleya: drobne redakcyjne |
||
Linia 19:
Bradley podał w roku 2000<ref>D.M. Bradley, A note on the divergence of the harmonic series, ''American Mathematical Monthly'', 107 (2000), 651.</ref> następujący dowód rozbieżności szeregu harmonicznego.
Dla dowolnej liczby <math>x > -1</math> spełniona jest nierówność
: <math>x \geqslant \ln(x + 1),</math>, a :<math>\frac{1}{k}\geqslant \ln\left(1+ \frac{1}{k}\right)= \ln\left(\frac{k+1}{k}\right) = \ln(k+1) - \ln k</math>.
Ciąg sum częściowych można więc oszacować:
Linia 25 ⟶ 27:
& \geqslant \sum_{k=1}^n (\ln(k+1) - \ln k)\\
& = \ln(n+1). \end{align}</math>
Ponieważ
zachodzi
:<math>\lim_{n \to \infty} H_n= \infin</math>.
== Uogólnienia ==
| |||