Wersja z 01:48, 5 lut 2017 edytuj Sinousty (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 2099 edycji →‎Bibliografia: jeszcze jedno źrodło ← poprzednia edycja		Wersja z 13:34, 31 sie 2017 edytuj anuluj edycję AndrzeiBOT (dyskusja \| edycje) Boty 392 518 edycji m Drobne poprawki redakcyjne: typografia, linkowania etc. następna edycja →
Linia 76: * Niech <math>X=(1,2)\cup(3,4)</math> będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór <math>(1,2)</math> nie ma w zbiorze <math>X</math> kresu górnego, bowiem <math>(3,4)</math> jest zbiorem wszystkich górnych ograniczeń zbioru <math>(1,2)</math>, ale nie ma w nim najmniejszego ograniczenia. Analogicznie podzbiór <math>(3,4)</math> nie ma w zbiorze <math>X</math> kresu dolnego. * Niech <math>X=(1,2]\cup(3,4]</math> będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór <math>(1,2]</math> ma w zbiorze <math>X</math> kres górny <math>2</math>, podzbiór <math>(3,4]</math> ma w zbiorze <math>X</math> kres dolny <math>2</math>. * Niech <math>({\mathbb B},+,\cdot,\sim,0,1)</math> będzie [[algebra ~~Boole'a~~Boole’a\|algebrą ~~Boole'a~~Boole’a]] i niech <math>\leqslant</math> będzie porządkiem boole'owskim na <math>{\mathbb B}</math> (tzn. dla <math>a\leqslant b</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a\cdot b=a</math>). Kres górny niepustego zbioru <math>A\subseteq {\mathbb B}</math> (jeśli istnieje) jest oznaczany przez <math>\sum A</math> i bywa nazywany ''sumą zbioru <math>A</math>''. Algebry w których każdy zbiór ma kres górny (tzn takie dla których porządek boole'owski <math>\leqslant</math> jest zupełny) są nazywane [[Algebra ~~Boole'a~~Boole’a#Zupe.C5.82ne algebry Boole.27a\|zupełnymi algebrami ~~Boole'a~~Boole’a]]. Algebry zupełne są szczególnie ważne w teorii [[forsing]]u. Kres dolny niepustego zbioru <math>A\subseteq {\mathbb B}</math> (jeśli istnieje) jest oznaczany przez <math>\prod A</math> i bywa nazywany ''produktem (iloczynem) zbioru <math>A</math>''. Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry ~~Boole'a~~Boole’a <math>{\mathbb B}</math>: : każdy niepusty podzbiór <math>{\mathbb B}</math> ma kres górny (tzn sumę), : każdy niepusty podzbiór <math>{\mathbb B}</math> ma kres dolny (tzn produkt). Warto też zauważyć że (zakładając istnienie odpowiednich kresów, np. [[Algebra ~~Boole'a~~Boole’a#Zupełne algebry ~~Boole'a~~Boole’a\|zupełność algebry]]), jeśli <math>\varnothing \neq A \subseteq \mathbb B</math>, to : <math>\sum A=\sim\prod\{\sim a\colon a\in A\}</math> oraz <math>\prod A=\sim\sum\{\sim a\colon a\in A\}.</math> Linia 88: * [[Elementy najmniejszy i największy]] == Bibliografia == {{Cytuj książkę \| nazwisko = Rasiowa \| imię = Helena \| tytuł = Wstęp do matematyki współczesnej \| wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe \| miejsce = Warszawa \| data = 1975 \| seria = Biblioteka Matematyczna \| strony = 112-122 \|}} {{Cytuj książkę \| nazwisko = Wojciechowska \| imię = Agnieszka \| tytuł = Elementy logiki i teorii mnogości \| wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe \| miejsce = Warszawa \| data = 1979 \| strony = 59-61 \| isbn = 83-01-00756-7}}

Kresy dolny i górny: Różnice pomiędzy wersjami