'''Twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie''' −– [[twierdzenie]] [[algebra liniowa|algebry liniowej]] mówiące o możliwości [[funkcja#Zawężenie i przedłużenie|przedłużenia]] [[funkcja|funkcji]] określonej na [[baza (przestrzeń liniowa)|wektorach bazowych]] danej [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej]] do [[przekształcenie liniowe|przekształcenia liniowego]] określonego na całej przestrzeni. Dokładniej, jeżeli <math>\scriptstyle B</math> jest [[baza (przestrzeń liniowa)|bazą]] przestrzeni liniowej <math>\scriptstyle V</math>, a <math>\scriptstyle W</math> jest dowolną przestrzenią liniową nad tym samym [[ciało (matematyka)|ciałem]] co <math>\scriptstyle V,</math> zaś <math>\scriptstyle \mathrm f\colon B \to W</math> jest dowolną funkcją, to istnieje takie przekształcenie liniowe <math>\scriptstyle \mathrm T\colon V \to W,</math> że <math>\scriptstyle \mathrm T(\mathbf b_i) = \mathrm f(\mathbf b_i)</math> dla każdego elementu <math>\scriptstyle \mathbf b_i</math> bazy <math>\scriptstyle B.</math>
== Przykład ==
[[Aksjomat wyboru]] jest równoważny istnieniu bazy dowolnej przestrzeni liniowej. Ciało [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] jest [[rozszerzenie ciała|rozszerzeniem ciała]] [[liczby wymierne|liczb wymiernych]]; w szczególności <math>\scriptstyle \mathbb R</math> jest przestrzenią liniową nad <math>\scriptstyle \mathbb Q</math>, której baza <math>\scriptstyle B</math> (nazywana czasem [[bazaBaza Hamela(przestrzeń liniowa)|bazą Hamela]]) jest [[moc zbioru|mocy]] [[continuum (teoria mnogości)|continuum]]. Korzystając z twierdzenia o przekształceniu liniowym zadanym na bazie można udowodnić istnienie [[funkcja ciągła|nieciągłego]] rozwiązania [[równanie Cauchy’ego|równania Cauchy’ego]], tj. istnienie takiej funkcji <math>\scriptstyle f,</math> która spełniałaby równość <math>\scriptstyle f(x + y) = f(x) + f(y)</math> dla wszystkich liczb rzeczywistych <math>\scriptstyle x, y.</math> Prosta rzeczywista jest [[przestrzeń ośrodkowa|ośrodkowa]] (ośrodkiem jest np. zbiór liczb wymiernych), skąd każda funkcja ciągła na <math>\scriptstyle \mathbb R</math> jest wyznaczona jednoznacznie przez swoje wartości na argumentach wymiernych. Oznacza to, że istnieje <math>\scriptstyle |\mathbb R|^{|\mathbb Q|} = \mathfrak c^{\aleph_0} = \left(2^{\aleph_0}\right)^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0 \cdot \aleph_0} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak c</math> funkcji ciągłych na <math>\scriptstyle \mathbb R,</math> przy czym symbole <math>\scriptstyle \aleph_0</math> oraz <math>\scriptstyle \mathfrak c</math> oznaczają odpowiednio [[alefSkala zeroalefów|pierwszą nieskończoną liczbę kardynalną]] oraz [[liczbaMoc kardynalnazbioru|liczbę kardynalną]] [[continuum (teoria mnogości)|continuum]]. Z drugiej strony istnieje <math>\scriptstyle |\mathbb R|^{|B|} = \mathfrak c^\mathfrak c</math> funkcji rzeczywistych, określonych na <math>\scriptstyle B.</math> Z [[twierdzenie Cantora|twierdzenia Cantora]] wynika, że <math>\scriptstyle \mathfrak c^\mathfrak c \geqslant 2^\mathfrak c > \mathfrak c</math> (słaba nierówność jest w istocie równością). Do przekształcenia liniowego (spełniającego równanie Cauchy’ego z definicji) można przedłużyć dowolną funkcję <math>\scriptstyle f\colon B \to \mathbb R.</math> Ponieważ jest ich więcej niż wszystkich funkcji ciągłych, to istnieją nieciągłe rozwiązania równania Cauchy’ego.
