Operator Laplace’a: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Dodano rozdział "Operator Laplace'a dowolnych współrzędnych krzywoliniowych " |
|||
Linia 21:
'''(2)''' W teorii prawdopodobieństwa laplasjan jest generatorem [[proces Wienera|procesu Wienera]].
== Operator Laplace'a - współrzędne kartezjańskie ==
Definicja operatora Laplace’a w ''<math>
n
Linia 32:
</math>
== Operator Laplace'a - ortogonalne współrzędne krzywoliniowe ==
'''(1)''' Operator Laplace’a w ''<math>
n
</math>''-wymiarowym '''ortogonalnym''' [[Współrzędne krzywoliniowe|krzywoliniowym układzie współrzędnych]] ma postać
: <math>
Linia 182:
</math>
== Operator Laplace'a - dowolne współrzędne krzywoliniowe ==
Operator Laplace’a w ''<math>
n
</math>''-wymiarowym [[Współrzędne krzywoliniowe|krzywoliniowym układzie współrzędnych]] ''<math>
q^1, \cdots, q^n
</math>'' ma postać
'''(1)''' ogólny wzór
: <math>\nabla^2
=
\nabla q^m \cdot \nabla q^n \frac{\partial^2}{\partial q^m \partial q^n} + \nabla^2 q^m \frac{\partial}{\partial q^m } </math>
'''(2)''' z używaciem symboli <math>\Gamma^l_{mn}</math>
: <math>\nabla^2=
g^{mn} \Big(\frac{\partial^2}{\partial q^m \partial q^n}
- \Gamma^l_{mn}\frac{\partial}{\partial q^l} \Big)</math>
gdzie
: ''<math>
g^{mn}
</math>'' - odwrotny tensor metryczny
: <math>\Gamma^l_{mn}</math> - [[symbole Christoffela]] układu krzywoliniowego
'''(3)''' z użyciem odwrotnego tensora metrycznego <math> g^{ij} </math>
: <math>\nabla^2 = \frac1{\sqrt{\operatorname{det}g}}\frac{\partial}{\partial q^i} \left( \sqrt{\operatorname{det}g}\,g^{ij} \frac{\partial}{\partial q^j}\right)</math>
gdzie
: ''<math>
\text{det}\, g
</math>'' - wyznacznik tensora metrycznego
(patrz równanie [https://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=59087 Voss]-[[Hermann Weyl|Weyla]]<ref>{{cite web|last1=Grinfeld|first1=Pavel|title=The Voss-Weyl Formula|url=https://www.youtube.com/watch?v=BD2AiFk651E&list=PLlXfTHzgMRULkodlIEqfgTS-H1AY_bNtq&index=23|accessdate=9 January 2018|language=English}}</ref> dotyczące [[Dywergencja|dywergencji]])
== Związek operatora Laplace'a z gradientem i dywergencją ==
| |||