Wersja z 18:03, 27 maj 2018 edytuj Tomasz59 (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 5494 edycje m →‎Przykład Znacznik: VisualEditor ← poprzednia edycja		Wersja z 20:54, 16 sie 2018 edytuj anuluj edycję Beno (dyskusja \| edycje) Redaktorzy, Administratorzy interfejsu, Administratorzy 133 099 edycji m WP:SK+Bn następna edycja →
Linia 1: {{spis treści}} '''Pochodna kierunkowa''' – pochodna [[Funkcja wielu zmiennych\|funkcji wielu zmiennych]] <math>\mathbf x=[x_1,\ldots,x_n]\in \mathbb R^n</math> obliczona w kierunku dowolnego [[wektor]]a jednostkowego <math>\mathbf u=[u_1,\ldots,u_n].</math>. Pochodna kierunkowa jest uogólnieniem pojęcia [[pochodna cząstkowa\|pochodnej cząstkowej]] na dowolne kierunki, przy czym pochodne cząstkowe są tożsame z pochodnymi w kierunkach wektorów jednostkowych bazy [[Układ współrzędnych\|układu współrzędnych]]. == Definicja pochodnej kierunkowej == [[Plik:MaximumParaboloid.png\|thumb\|273x273px\|[[Paraboloida]], która jest wykresem funkcji <math>f\~~scriptstyle f:~~colon \mathbb R^2 \to \mathbb R,</math>, w czerwonym punkcie ma [[~~ekstremum~~Ekstremum funkcji\|maksimum]]; w punkcie tym zerują się pochodne w dowolnym kierunku, co jest warunkiem koniecznym istnienia maksimum.~~\|273x273px~~]] Niech dana będzie [[przestrzeń euklidesowa]] <math>\mathbb R^n</math> i zawarty w niej [[zbiór otwarty\|podzbiór otwarty]] <math>A.</math> '''Pochodną kierunkową''' funkcji <math>f\colon A \to \mathbb R</math> wzdłuż wektora [[wektor jednostkowy\|jednostkowego]] <math>\mathbf u=[u_1,\ldots,u_n]\in \mathbb R^n</math> w punkcie <math> \mathbf x=[x_1,\ldots,x_n]\in A</math> nazywamy granicę : <math>\frac{\partial f(\mathbf x)}{\partial \mathbf u} = \lim_{t \to 0}\frac{f(\mathbf x + t\mathbf u) - f(\mathbf x)}{t},</math> zakładając, że granica ta istnieje. == Związek pochodnej kierunkowej z gradientem == [[~~File~~Plik:~~Directional_derivative_contour_plot~~Directional derivative contour plot.svg\|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Directional_derivative_contour_plot.svg\|mały\|275x275px\|Okręgi przedstawiają linie o stałych wartościach funkcji <math>f(x, y)=x^2 + y^2.</math>. Zielony wektor wskazuje gradient funkcji, wektor pomarańczowy <math>\bold{u}</math> wskazuje kierunek, w którym liczy się pochodną kierunkową. Wektor gradientu jest dłuższy, gdyż wskazuje kierunek największej zmiany wartości funkcji.]] '''Twierdzenie:''' Jeżeli istnieje [[Gradient (matematyka)\|gradient]] funkcji <math>\nabla f(\mathbf x) </math> w punkcie <math>\mathbf x</math> (co oznacza, że <math>f</math> jest [[pochodna funkcji\|różniczkowalna]] w <math>\mathbf x</math>) : <math>\nabla f = \left[\frac{\partial f}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right],</math>▼ ▲<math>\nabla f = \left[\frac{\partial f}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right]</math> to pochodna kierunkowa funkcji <math>f</math> w kierunku wektora <math>\mathbf u</math> jest równa [[Iloczyn skalarny\|iloczynowi skalarnemu]] gradientu funkcji <math>f</math> i wektora <math>\mathbf u</math> : <math>\nabla_\mathbf u f(\mathbf x)=\nabla f(\mathbf x) \cdot \mathbf u</math> ~~\nabla f(\mathbf x) \cdot \mathbf u</math>~~ == Przykład == (1) Niech będzie dana funkcja : <math>f(x, y) = x^2 + xy - y^2.</math> ▼ ▲: <math>f(x, y) = x^2 + xy - y^2</math> (2) Gradient funkcji <math>f</math> wynosi : <math>\nabla f(x, y) = \left[\frac{\partial f(x, y)}{\partial x} ,\ \frac{\partial f(x, y)}{\partial y} \right]= \left[2x + y,\ x - 2y\right].</math>▼ ▲: <math>\nabla f(x, y) = \left[\frac{\partial f(x, y)}{\partial x} ,\ \frac{\partial f(x, y)}{\partial y} \right]= \left[2x + y,\ x - 2y\right]</math> (3) Pochodna kierunkowa funkcji <math>f</math> w kierunku jednostkowego wektora <math>\mathbf u = \left[\frac{1}{\sqrt 5},\ \frac{2}{\sqrt 5}\right]</math> dana jest zależnością : <math>\nabla_{\mathbf u} f(x, y) = \nabla f(x, y) \cdot \mathbf u =▼ ▲: <math>\nabla_{\mathbf u} f(x, y) = \nabla f(x, y) \cdot \mathbf u = \left[2x + y,\ x - 2y\right] \left[\frac{1}{\sqrt 5},\ \frac{2}{\sqrt 5}\right] ,</math> czyli : <math>\nabla_{\mathbf u} f(x, y) = \frac{1}{\sqrt 5}(2x + y) + \frac{2}{\sqrt 5}(x - 2y) = \frac{4x - 3y}{\sqrt 5}.</math>▼ ▲: <math>\nabla_{\mathbf u} f(x, y) = \frac{1}{\sqrt 5}(2x + y) + \frac{2}{\sqrt 5}(x - 2y) = \frac{4x - 3y}{\sqrt 5}</math> == Twierdzenia == Pochodna kierunkowa ma wiele własności identycznych jak zwykła [[pochodna funkcji\|pochodna]]. Wśród nich, dla funkcji <math> f</math> i <math> g</math> określonych w [[otoczenie (matematyka)\|otoczeniu]] punktu <math>\mathbf x,</math>, w którym funkcje te są [[Funkcja różniczkowalna\|różniczkowalne]], słuszne są reguły: '''(1)''' reguła sumy : <math>\nabla_\mathbf v ( f + g) = \nabla_\mathbf v f + \nabla_\mathbf v g.</math>▼ ▲: <math>\nabla_\mathbf v ( f + g) = \nabla_\mathbf v f + \nabla_\mathbf v g</math> '''(2)''' reguła stałej: dla dowolnej stałej <math>c\in R</math> zachodzi : <math>\nabla_\mathbf v (c f) = c\nabla_\mathbf v f.</math>▼ ▲: <math>\nabla_\mathbf v (c f) = c\nabla_\mathbf v f</math> '''(3)''' reguła iloczynu (reguła Leibniza) : <math>\nabla_\mathbf v(fg) = g\,\nabla_\mathbf v f + f\,\nabla_\mathbf v g.</math>▼ '''(4)''' [[reguła łańcuchowa]]: jeśli <math>g</math> jest różniczkowalna w <math>\mathbf x,</math>, zaś <math>h</math> jest różniczkowalna w <math>g(\mathbf x)</math> to▼ ▲: <math>\nabla_\mathbf v(fg) = g\,\nabla_\mathbf v f + f\,\nabla_\mathbf v g</math> : <math>\nabla_\mathbf v ( h \circ g)(\mathbf x) = \nabla h\bigl(g(\mathbf x)\bigr) \nabla_\mathbf v g(\mathbf x).</math>▼ ▲'''(4)''' [[reguła łańcuchowa]]: jeśli <math>g</math> jest różniczkowalna w <math>\mathbf x</math>, zaś <math>h</math> jest różniczkowalna w <math>g(\mathbf x)</math> to ▲: <math>\nabla_\mathbf v ( h \circ g)(\mathbf x) = \nabla h\bigl(g(\mathbf x)\bigr) \nabla_\mathbf v g(\mathbf x)</math> == Pochodna w kierunku wektora niejednostkowego == '''(1)''' Definicja pochodnej w kierunku niejednostkowego i niezerowego wektora <math>\mathbf v</math> ma postać: : <math>\~~tfrac~~frac{\partial f}{\partial \mathbf uv}(\mathbf x)~~,\;~~ = \~~operatorname~~lim_{t D_\~~mathbf~~to u0^+} \frac{f(\mathbf x~~),\;~~ ~~f'_\mathbf~~+ u(t\mathbf xv)~~,\;~~ ~~\nabla_\mathbf u~~- f(\mathbf x)~~,\;~~ }{t\|\mathbf ~~u \nabla f(\mathbf x)~~v\|},</math>▼ :gdzie <math>~~\frac{\partial f}{\partial~~ \|\mathbf v~~}(\mathbf~~\|</math> x)– =długość ~~\lim_{t~~wektora ~~\to 0^+} \frac{f(\mathbf x + t~~<math>\mathbf v~~) - f(\mathbf x)}{t\|\mathbf v\|}~~.</math> ~~gdzie <math>\|\mathbf v\|</math> - długość wektora <math>\mathbf v</math>.~~ '''(2) Twierdzenie''' Gdy <math>f</math> jest różniczkowalna w punkcie <math>\mathbf x,</math>, to : <math> \nabla_\mathbf v f(\mathbf x)= \nabla f(\mathbf x) \cdot \frac{\mathbf v}{\|\mathbf v\|},</math> czyli pochodna ta jest identyczna jak dla wektora jednostkowego. '''Uwaga:''' Definicja pochodnej kierunkowej dla wektorów niejednostkowych jest niezgodna z notacją używaną w pozostałych działach matematyki, gdzie oczekuje się, iż pochodne [[algebra różniczkowa\|algebry różniczkowej]] tworzą [[przestrzeń liniowa\|przestrzeń liniową]]. Linia 87 ⟶ 77: == Związek z pochodną cząstkową == {{osobny artykuł\|pochodna cząstkowa}} Jeśli <math>\{\mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n\}</math> jest [[baza (przestrzeń liniowa)\|bazą]] [[baza standardowa\|standardową]] w <math>\mathbb R^n,</math> to pochodna kierunkowa funkcji <math>f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R^m</math> wzdłuż wektora dla <math>\mathbf u = \mathbf e_i</math> jest równa ''[[Pochodna cząstkowa\|pochodnej cząstkowej]] ''względem zmiennej <math>x_i,</math> , tzn. : <math>\frac{\partial f(\mathrm x)}{\partial \mathbf e_i} = \frac{\partial f(\mathrm x)}{\partial x_i},</math>▼ ▲: <math>\frac{\partial f(\mathrm x)}{\partial \mathbf e_i} = \frac{\partial f(\mathrm x)}{\partial x_i}</math> gdzie <math>\mathrm x = [x_1, \dots, x_n].</math> Linia 95 ⟶ 84: == Rozmaitości różniczkowe == {{Zobacz też\|przestrzeń styczna}} [[Plik:Tangentialvektor.svg\|thumb\|221x221px\|Przestrzeń styczna <math> T_xM</math> 2-wymiarowa (tj. płaszczyzna) do 2-wymiarowej rozmaitości <math> M</math> (powierzchni) w punkcie <math> x</math> oraz wektor styczny <math> v\in T_xM</math> do krzywej <math>\gamma</math> przechodzącej przez punkt <math> x\in M.</math>.]] Jeżeli: ('''1''') <math>f</math> jest funkcją określoną w otoczeniu punktu <math>x</math> [[rozmaitość różniczkowa\|rozmaitości różniczkowej]] <math>M,</math> [[Funkcja różniczkowalna\|różniczkowalną]] w punkcie <math>\vec x</math> ('''2''') <math>\vec v</math> oznacza [[wektor styczny]] do rozmaitości <math>M</math> w punkcie <math>\vec x</math> ('''3''') odwzorowanie <math>\vec\gamma\colon [-1, 1] \to M</math> generuje krzywą różniczkowalną <math>\vec\gamma(\tau),</math>, taką że * <math>\vec\gamma(0) = \vec x</math> oraz * <math>\vec\gamma\,'(0) = \vec v,</math> to pochodną kierunkową w punkcie <math>\vec x</math> wzdłuż wektora <math>\vec v</math> definiuje wzór : <math>\nabla_{\vec v} f(p) = \tfrac{\operatorname d}{\operatorname d\tau} (f \circ \vec\gamma)(\tau)\Big\|_{\tau = 0}.</math>▼ '''Tw.''' Dowodzi się, że pochodna ta nie zależy od wyboru krzywej <math>\vec \gamma.</math> .▼ ▲: <math>\nabla_{\vec v} f(p) = \tfrac{\operatorname d}{\operatorname d\tau} (f \circ \vec\gamma)(\tau)\Big\|_{\tau = 0}</math> ▲'''Tw.''' Dowodzi się, że pochodna ta nie zależy od wyboru krzywej <math>\vec \gamma</math> . == Przestrzenie liniowo-topologiczne == Linia 119 ⟶ 107: == Różne oznaczenia pochodnej kierunkowej == Istnieje wiele różnych oznaczeń pochodnej kierunkowej, np. : <math>\tfrac{\partial f}{\partial \mathbf u}(\mathbf x),\; \operatorname D_\mathbf u f(\mathbf x),\; f'_\mathbf u(\mathbf x),\; \nabla_\mathbf u f(\mathbf x),\; \mathbf u \nabla f(\mathbf x).</math> ▲: <math>\tfrac{\partial f}{\partial \mathbf u}(\mathbf x),\; \operatorname D_\mathbf u f(\mathbf x),\; f'_\mathbf u(\mathbf x),\; \nabla_\mathbf u f(\mathbf x),\; \mathbf u \nabla f(\mathbf x)</math> == Zobacz też == * [[pochodna ~~zupełna~~Frécheta]] ▼ * [[pochodna ~~Frécheta~~Gâteaux]] * [[pochodna ~~Gâteaux~~kowariantna]] * [[pochodna ~~kowariantna~~zupełna]] ▲* [[pochodna zupełna]] '''Inne''' * [[forma różniczkowa]] * [[przestrzeń styczna]] == Bibliografia == ~~[1]~~* {{cytuj książkę \| ~~imię~~nazwisko = ~~Krzysztof~~Maurin \| ~~nazwisko~~imię = ~~Maurin~~Krzysztof \| autor link = Krzysztof Maurin \| tytuł = Analiza \| część = I \| tytuł części = Elementy \| miejsce = Warszawa \| wydawca = PWN \| rok = 1976}} ~~[2]~~* Witold Kołodziej: ''Analiza matematyczna.'', Warszawa: PWN, 2009.▼ ▲[2] Witold Kołodziej: ''Analiza matematyczna.'' Warszawa: PWN, 2009. [[Kategoria:Pochodne\|kierunkowa]]

Pochodna kierunkowa: Różnice pomiędzy wersjami