Analiza dynamiczna: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Bibliografia: kat. |
m <center> na entery |
||
Linia 6:
Ze względu na trudności obliczeniowe w praktyce najczęściej stosowana jest linearyzacja związków nieliniowych. Takie podejście daje dobre rezultaty przy badaniu małych drgań w otoczeniu równowagi statycznej.
== Model dyskretny ==
Najbardziej uniwersalnym podejściem do analizy dynamicznej jest budowa liniowego [[dyskretyzacja kontinuum|modelu dyskretnego]] o skończonej liczbie [[stopień swobody (fizyka)|stopni swobody]]. Model taki wykorzystywany jest powszechnie w metodach takich jak np. [[metoda elementów skończonych]]. Istota tego modelu polega na opisaniu pola przemieszczeń kontinuum w sposób przybliżony, za pomocą prostych funkcji np. wielomianów zbudowanych na bazie parametrów przypisanych węzłom dostatecznie gęstej siatki dzielącej kontinuum na elementy o skończonych rozmiarach (elementy skończone). Dzięki temu stan przemieszczenia w takim modelu może być jednoznacznie opisany za pomocą wektora <math>\ \vec{Q}(t) = [Q_1(t),\ Q_2(t),\ ...\ Q_n(t)]^T\ </math> o skończonej liczbie współrzędnych mających interpretację przemieszczeń węzłowych. W takiej interpretacji na węzły układu działają siły czynne
Linia 11 ⟶ 12:
* <math>\ \vec{T}(t) = -\ C\dot\vec{Q}(t)\ </math> - tłumienia,
* <math>\ \vec{B}(t) = -\ M\ddot\vec{Q}(t)\ </math> - bezwładności,
gdzie przez [[dyskretyzacja kontinuum|K, C i M]] oznaczono macierze o rozmiarach <math>\ (n\times n)\ </math>odpowiednio: sztywności, tłumienia i bezwładności.
Na podstawie równania (ruchu) równowagi w sensie d'Alemberta
otrzymujemy
Równanie (a) stanowi podstawę analizy dynamicznej.
Linia 23 ⟶ 27:
Najczęściej stosowane algorytmy ogólne, umożliwiające obliczenia odpowiedzi również w przypadkach nieliniowych, działają na zasadzie krok-po-kroku. I tak na przykład przy całkowaniu z krokiem <math>\ h\ </math> równania
metodą QDAMN stosuje się przekształcenie
<center><math>\vec{Q}_0,\quad \dot\vec{Q}_0,\quad \ddot\vec{Q}_0 = \vec{F}[t_0,\ \vec{Q}_0,\ \dot\vec{Q}_0],</math></center>▼
oblicza się pierwsze przybliżenie wartości rozwiązania w punkcie <math>\ t_h = t_0 + h\ </math>▼
<center><math>\ddot\vec{Q}^{(1)}_h = \ddot\vec{Q}_0,\quad \dot\vec{Q}_h^{(1)} = \dot\vec{Q}_0 + h\ddot\vec{Q}_0,\quad \vec{Q}_h^{(1)} = \vec{Q}_0 + h\dot\vec{Q}_0 + \frac{1}{2}h^2\ddot\vec{Q}_0.</math></center>▼
i na podstawie warunków początkowych ruchu w chwili <math>t_0</math>
Kolejne przybliżenia otrzymuje się iteracyjnie na podstawie wzorów rekurencyjnych dla <math>k = 1,\ 2,\ 3,\ ...\ .</math>▼
▲
▲oblicza się pierwsze przybliżenie wartości rozwiązania w punkcie <math>\ t_h = t_0 + h\ </math>
<center><math>\dot\vec{Q}_h^{(k+1)}\!= \dot\vec{Q}_h^{(k)} + \int\limits_0^h \ddot\vec{Q}^{(k)}(t)dt = \dot\vec{Q}_h^{(k)}(t) + \int\limits_0^h \vec{F}[t,\ \vec{H}^{(k)}(t),\ \dot\vec{H}^{(k)}(t)],</math></center>▼
▲
▲Kolejne przybliżenia otrzymuje się iteracyjnie na podstawie wzorów rekurencyjnych dla <math>k = 1,\ 2,\ 3,\ ...\ .</math>
<center><math>\vec{Q}_h^{(k+1)}\!= \vec{Q}_h^{(k)} + h\dot\vec{Q}_h^{(k)} + \int\limits_0^h \int\limits_0^t \vec{F}[t,\ \vec{H}^{(k)}(\tau),\ \dot\vec{H}^{(k)}(\tau)]d\tau dt,</math></center>▼
▲
▲
▲<center><math>\ddot\vec{Q}_h^{(k+1)} = \vec{F}[t_h,\ \vec{Q}_h^{(k+1)},\ \dot\vec{Q}_h^{(k+1)}],</math></center>
w których przez <math>\ \vec{H}(t)\ </math> oznaczono interpolacyjne wielomiany Hermite'a piątego stopnia przybliżające funkcję <math>\ \vec{Q}(t)\ </math> i jej pochodną <math>\ \dot\vec{Q}(t)\ </math>w przedziale <math>\ [t_0,\ t_h].</math>
== Częstości i formy własne ==
Każdy model układu drgającego, o [[dyskretyzacja kontinuum|n stopniach swobody]], odznacza się pewnymi charakterystycznymi właściwościami dynamicznymi. Okazuje się mianowicie, że może on wykonywać proste, pojedyncze drgania harmoniczne, ale tylko ze ściśle określonymi tzw. '''kołowymi częstościami drgań własnych'''<math>\ \omega_i,\; i = 1,\ 2,\ 3,\ ...\ n.</math> Częstości te tworzą widmo
Te pojedyncze drgania harmoniczne o postaci
są to tzw. '''drgania własne''' polegające na ruchu modelu określonym '''formą drgań własnych'''
opisującą konfigurację przestrzenną układu drgającego z częstością własną <math>\ \omega_i.</math> Częstości <math>\ \omega_i\ </math> i formy drgań własnych <math>\ \vec{A}_i,\; i = 1,\ 2,\ 3,\ ...\ n</math> oblicza się na podstawie równania swobodnych drgań nietłumionych [[dyskretyzacja kontinuum|modelu]]
Jego rozwiązania o postaci
<center><math>Det\ (K - \omega_i^2M) = 0\qquad\qquad\mbox{dla}\quad i = 1,2, ... n.</math></center>▼
: <math>\vec{Q}(t) = \vec{A}_i\sin\omega_it,\qquad\qquad\mbox{dla}\quad i = 1,2, ... n,</math>
istnieją, gdy spełniony jest warunek
: (-\omega_i^2M + K)\vec{A}_i = 0, \qquad\qquad\mbox{dla}\quad i = 1,2, ... n.\qquad\qquad(b)</math>
Istnienie nie zerowych rozwiązań <math>\ \vec{A}_i\ </math> wymaga, aby było spełnione tzw. równanie wiekowe (sekularne) częstości.
▲
Jego rozwiązania tworzą widmo częstości drgań własnych układu. Na podstawie znanych już <math>\ \omega_i\ </math> można poszukiwać rozwiązań <math>\ \vec{A}_i\ </math> równania (b) określających formy drgań własnych. Mogą być one wyznaczone z dokładnością do stałego mnożnika.
Wykorzystując tożsamości
: <math>\omega_i^2 \vec{A}_k^TM\vec{A}_i \equiv \vec{A}_k^TK\vec{A}_i, \qquad \omega_k^2 \vec{A}_i^TM\vec{A}_k \equiv \vec{A}_i^TK\vec{A}_k </math>
i dokonując transpozycji z wykorzystaniem symetrii macierzy M i K otrzymujemy przy założeniu, że <math>\ \omega_i\neq \omega_k,</math> warunek ortogonalności form drgań własnych
: <math>\vec{A}_i^T M \vec{A}_k = 0\quad \mbox{dla}\quad i\neq k,\qquad \vec{A}_i^T M \vec{A}_i =m_i.</math>
Jeżeli wprowadzimy nowe wektory (bazowe) <math>\ \vec{U}_i = (U_{i1},\ U_{i2},\ ...\ ,U_{in})^T</math> takie, że <math>\ \vec{A}_i = \sqrt{m_i}\ \vec{U}_i,\ </math> to otrzymamy
: <math>\ m_i\vec{U}_i^TM\vec{U}_i = m_i\quad \mbox{czyli}\quad \vec{U}_i^TM\vec{U}_i = 1.\qquad\qquad\qquad(c)</math>
Po wprowadzeniu macierzy modalnej <math>\ U = (\vec{U}_1\ \vec{U}_2\ ... \ \vec{U}_n)\ </math> otrzymujemy
: <math>U^TMU = I\qquad</math> i na podstawie (a) <math>\qquad U^TKU = diag\ (\omega_1^2,\ \omega_2^2,\ ...\ \omega_n^2),</math>
gdzie przez <math>\ I\ </math> oznaczono macierz jednostkową.
Obliczenie częstości własnych <math>\ \omega_i\ </math> i odpowiadających im bazowych form własnych <math>\ \vec{U}_i\ </math> kończy proces rozwiązywania problemu własnego drgającego modelu.
Dowolną formę drgań swobodnych i jej pochodną można teraz zapisać w postaci
: <math>\vec{Q}(t) = \sum_{i=1}^n\alpha_i\vec{U}_i\sin(\omega_it + \varphi_i),\qquad\qquad \dot\vec{Q}(t) = \sum_{i=1}^n\alpha_i\omega_i\vec{U}_i\cos(\omega_it + \varphi_i).</math Po wykorzystaniu (c) warunki początkowe ruchu <math>\ \vec{Q}(0),\ \dot\vec{Q}(0)\ </math> prowadzą do wzorów <center><math>\vec{U}_i^TM\vec{Q}(0) = \alpha_i\sin(\varphi_i) = s_i, \qquad \vec{U}_i^TM\dot\vec{Q}(0) = \alpha_i\omega_i\cos(\varphi_i) = c_i.</math></center> ▼
Po wykorzystaniu (c) warunki początkowe ruchu <math>\ \vec{Q}(0),\ \dot\vec{Q}(0)\ </math> prowadzą do wzorów
▲
Na ich podstawie otrzymujemy następujące wartości parametrów <math>\ \varphi_i,\ \alpha_i\!:</math>
Linia 68 ⟶ 101:
== Analiza modalna ==
Dysponowanie bazą form drgań własnych <math>\ U = [\vec{U}_1,\ \vec{U}_2, ...\ \vec{U}_n]</math> pozwala zapisać dowolną formę drgań (swobodnych lub wymuszonych) w postaci
przedstawiającej tę dowolną formę jako zmienną w czasie kombinację liniową unormowanych form drgań własnych tworzących bazę <math>\ U\!.</math> Po podstawieniu tej reprezentacji do równania ruchu
otrzymujemy Mnożąc lewostronnie przez <math>\ U^T\ </math> i uwzględniając związki (c) mamy
gdzie <math>\ \Gamma = U^TCU,\quad \Omega = diag\ (\omega_1,\ \omega_2, ...\ \omega_n).\ </math>
W celu sprowadzenia macierzy <math>\ \Gamma\ </math> do postaci diagonalnej najczęściej stosuje się przyjęcie, że <math>\ C = \beta M + \delta K,\ </math> dzięki któremu macierz <math>\ \Gamma\ </math> przybiera postać
: <math>\ \Gamma = U^TCU = U^T(\beta M + \delta K)U = \beta I + \delta\Omega^2 = diag\ [\gamma_1,\ \gamma_2,\ ...\ \gamma_n],\quad \gamma_i = \beta + \delta\omega_i^2. </math>
Dzięki tym zabiegom '''wektorowe''' równanie ruchu (d) rozpada się na n niezależnych równań '''skalarnych'''
Gdy wymuszenie ma postać modalną <math>\ \vec{P}(t) = M\vec{U}_k R(t)\ </math> wówczas mamy
czyli
Tylko taka, modalna postać wymuszenia, może wywołać drgania (modalne) opisane pojedynczą, k-tą formą drgań własnych.
Każda z funkcji <math>\ G_i(t)\ </math> opisuje udział (modalny) i-tej formy drgań własnych <math>\ \vec{U}_i\ </math> w odpowiedzi <math>\ \vec{Q}(t)\ </math> modelu.
Poszczególne równania (f) można, w prostych przypadkach wymuszeń, rozwiązywać analitycznie bądź też w przypadkach złożonych stosować całkowanie numeryczne. Istotne ułatwienie stanowi fakt, że są to niezależne od siebie równania skalarne. Każda z funkcji modalnych <math>\ G_i(t)\ </math> występuje tylko w jednym i-tym równaniu i jej obliczenie przebiega tak jak dla tłumionego oscylatora harmonicznego.
W przypadku szczególnym, gdy model poddany jest wymuszeniu harmonicznemu z częstością kołową <math>\ \theta\ </math>
mamy
Rozwiązanie równania (e) o postaci
zostaje, po podstawieniu funkcji <math>\ G_i(t)\ </math> do (e), określone w sposób następujący
gdzie
:
W przypadku rezonansu tłumionego na częstości <math>\ \omega_i\; (\theta = \omega_i,\;\gamma_i \neq 0),\ </math> otrzymujemy
: <math>\ G_{is} = -\; \frac{1}{\theta\gamma_i}F_{ic},\quad G_{ic} = \frac{1}{\theta\gamma_i}F_{is}.\ </math>
▲W przypadku rezonansu tłumionego na częstości <math>\ \omega_i\; (\theta = \omega_i,\;\gamma_i \neq 0),\ </math> otrzymujemy <center><math>\ G_{is} = -\; \frac{1}{\theta\gamma_i}F_{ic},\quad G_{ic} = \frac{1}{\theta\gamma_i}F_{is}.\ </math></center>
Gdy <math>\ \theta \neq \omega_i,\; \gamma_i = 0\ </math> odpowiedź określają wzory
opisujące zjawiska rezonansowe na częstościach <math>\ \omega_i.\ </math>
== Bibliografia ==
# Nowacki W., ''Dynamika budowli'', Arkady Warszawa 1974
| |||