Wersja z 01:52, 20 maj 2018 edytuj Kggucwa (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 32 532 edycje →‎Rozkład Lévy’ego–Itō: link, lit. Znaczniki: Z urządzenia mobilnego Z wersji mobilnej (przeglądarkowej) ← poprzednia edycja		Wersja z 10:41, 1 mar 2019 edytuj anuluj edycję Beno (dyskusja \| edycje) Redaktorzy, Administratorzy interfejsu, Administratorzy 133 329 edycji m WP:SK+Bn następna edycja →
Linia 1: {{dopracować\|dokończyć formatowanie i dopisać definicję intuicyjną\|źródła=2009-05}} '''Proces Lévy’ego''' – [[proces stochastyczny]] <math>(X_t)_{t\geqslant 0}</math> na [[przestrzeń probabilistyczna\|przestrzeni probabilistycznej]] <math>(\Omega, \mathcal{F}, P)</math> o wartościach w przestrzeni euklidesowej <math>\mathbb{R}^d,</math>, spełniający następujące warunki: # <math>X_0 = 0,</math>, <math>P</math>-prawie wszędzie, # dla każdego ciągu <math>0 \leqslant t_0 < t_1 < \dots < t_n</math> [[zmienna losowa\|zmienne losowe]] <math>X_{t_0}, X_{t_1} - X_{t_0}, \dots, X_{t_n} - X_{t_{n-1}}</math> są niezależne, # rozkład <math>X_{s+t} - X_s</math> nie zależy od <math>s</math> dla każdych <math>s,t\~~geq~~geqslant 0,</math>, # proces <math>X_t</math> jest ciągły według prawdopodobieństwa, tzn. dla każdego <math>t\~~geq~~geqslant 0</math> i dla każdego <math>\varepsilon >0</math> :: <math>\lim_{s \to t} P(\|X_s - X_t\| > \varepsilon) = 0.</math>. Proces stochastyczny spełniający powyższe warunki posiada modyfikację będącą prawostronnie ciągłym z lewostronnymi granicami (z ang. ''RCLL'', z fr. ''càdlàg'') procesem Lévy’ego. == Własności == Linia 13: == Wzór Lévy’ego == Rozkład procesu Lévy’ego w momencie <math>t\~~geq~~geqslant 0,</math>, <math>X_t</math> jest [[Rozkład nieskończenie podzielny\|rozkładem nieskończenie podzielnym]]. Stąd istnieje eksponencjalne przedstawienie funkcji charakterystycznej procesu Lévy’ego w chwili <math>t</math> -– tzw. wzór Lévy’ego-Chinczyna: :: <math> E[e^{i<u,X_t>}] = e^{t\psi(u)},</math>,▼ gdzie:▼ ▲: <math> E[e^{i<u,X_t>}] = e^{t\psi(u)}</math>, :: <math> \psi(u) = - \frac{1}{2} <u,Au> + i <b,u> + \int\limits_{R^d - \{0\}} \left[e^{i<u,y>} - 1 - i <u,y>1_{\\| x\\| \leqslant 1}(y)\right] \nu(dy), </math>▼ przy czym▼ ▲gdzie :: <math> \nu </math> jest miarą na <math> R^d - \{0\} </math> spełniającą warunek▼ :: <math> ~~\psi(u) = - \frac{1}{2}<u,Au> + i <b,u> +~~ \int\limits_{R^d - \{0\}} \left~~[e^{i<u,y>}~~( -\\| ~~1 - i<u,~~y> ~~1_{~~\\|^2 x\\|wedge ~~\leqslant~~1 ~~1}(y)~~\right]) \nu(dy), < \infty,</math> a <math>A </math> jest macierzą dodatnio określoną. Funkcję <math>\psi(u)</math> nazywa się wykładnikiem charakterystycznym procesu Lévy’ego. Trójkę <math>(b,A,\nu)</math> nazywa się trójką charakterystyczną procesu. Zgodnie ze wzorem Lévy’ego-Chinczyna trójka charakterystyczna jednoznacznie określa proces.▼ ▲przy czym ▲: <math> \nu </math> jest miarą na <math> R^d - \{0\} </math> spełniającą warunek :Jeśli <math> \int\limits_{R^d - \{0\}} \left( \\| y \\|^2 \wedge 1 \right) \nu(dy) < \infty, ,</math> to wykładnik charakterystyczny można zapisać w postaci <math>\psi(u) = -\frac{1}{2} <u,Au>+ i <b,u>+ \int\limits_{R^d - \{0\}} \left[e^{i<u,y>} - 1\right] \nu(dy).</math> == Rozkład ~~Lévy’ego–Itō~~Lévy’ego-Itō ==▼ ▲a <math>A </math> jest macierzą dodatnio określoną. Funkcję <math>\psi(u)</math> nazywa się wykładnikiem charakterystycznym procesu Lévy’ego. Trójkę <math>(b,A,\nu)</math> nazywa się trójką charakterystyczną procesu. Zgodnie ze wzorem Lévy’ego-Chinczyna trójka charakterystyczna jednoznacznie określa proces. Proces Lévy’ego można przedstawić jako sumę ▼ :: <math> X_t = b t + X^{(1)}_t + X^{(2)}_t + X^{(3)}_t ,</math>,▼ gdzie <math>X^{(1)}</math> jest wielowymiarym [[Proces Wienera\|procesem Wienera]] z macierzą kowariancji <math>A,</math>, <math>X^{(2)}</math> jest to [[złożony proces Poissona]] o skokach większych niż 1, przy czym rozkład i intensywność skoków opisuje miara <math>\nu(y)1_{\\|y\\|>1}.</math>. Proces <math>X^{(3)}</math> to czysto skokowy [[Martyngał (rachunek prawdopodobieństwa)\|martyngał]].▼ ~~Jeśli <math> \int\limits_{R^d - \{0\}} \left( \\| y \\| \wedge 1 \right) \nu(dy) < \infty, </math>, to wykładnik charakterystyczny można zapisać w postaci~~ ▲<math> \psi(u) = - \frac{1}{2}<u,Au> + i <b,u> + \int\limits_{R^d - \{0\}} \left[e^{i<u,y>} - 1\right] \nu(dy), </math> ▲== Rozkład Lévy’ego–Itō == ▲Proces Lévy’ego można przedstawić jako sumę ▲: <math> X_t = b t + X^{(1)}_t + X^{(2)}_t + X^{(3)}_t </math>, ▲gdzie <math>X^{(1)}</math> jest wielowymiarym [[Proces Wienera\|procesem Wienera]] z macierzą kowariancji <math>A</math>, <math>X^{(2)}</math> jest to [[złożony proces Poissona]] o skokach większych niż 1, przy czym rozkład i intensywność skoków opisuje miara <math>\nu(y)1_{\\|y\\|>1}</math>. Proces <math>X^{(3)}</math> to czysto skokowy [[Martyngał (rachunek prawdopodobieństwa)\|martyngał]]. == Przykłady == Szczególnymi przypadkami procesu Lévy’ego są: * [[Proces Poissona]] – najprostszy proces Lévy’ego. Dla <math>d=1</math> [[Funkcja charakterystyczna (teoria prawdopodobieństwa)\|funkcja charakterystyczna]] jest postaci, :: <math>\hat{\mu}(z) = \exp (c(e^{iz} - 1)),</math>, przy czym <math>z \in \mathbb{R}.</math>.▼ Miara prawdopodobieństwa w punkcie <math>k = 0, 1, 2, \~~dots~~ldots{:}</math>: <math>\mu(\{k\}) = e^{-c} \frac{c^k}{k!}.</math>.▼ ▲: <math>\hat{\mu}(z) = \exp (c(e^{iz} - 1))</math>, przy czym <math>z \in \R</math>. ▲Miara prawdopodobieństwa w punkcie <math>k = 0, 1, 2, \dots</math>: <math>\mu(\{k\}) = e^{-c} \frac{c^k}{k!}</math>. Proces Poissona jest rosnącym skokowym procesem. Ze skokami zawsze wielkości 1. * [[Proces gamma]]. Gęstości rozkładu gamma, z parametrami <math>a, b > 0</math> to: <math>f(x; a,b) = \frac{b^a}{\Gamma(a)} x^{a-1} \exp (-xb),\quad x > 0.</math>. Funkcja charakterystyczna jest postaci: <math>\hat{\mu}(z) = (1 - \frac{iz}{b} )^{-a}.</math>. * [[Proces Cauchy’ego]]. Przy <math>\gamma \in \mathbb{R}, c > 0,</math>, miara [[zbiór borelowski\|zbioru borelowskiego]] to: :: <math>\mu(B) = \pi^{-1} c \int\limits_B ((x-\gamma)^2 + c^2)^{-1} dx,</math> funkcja charakterystyczna to:▼ ~~borelowskiego]] to:~~ ▲: <math>\mu(B) = \pi^{-1} c \int\limits_B ((x-\gamma)^2 + c^2)^{-1} dx,</math> funkcja charakterystyczna to: :: <math>\hat{\mu}(z) = \exp -c\|z\|+ i\gamma z, \quad z \in \mathbb{R}.</math>.▼ ▲: <math>\hat{\mu}(z) = \exp -c\|z\|+ i\gamma z, \quad z \in \R</math>. * [[Proces Wienera]]. Jego funkcja charakterystyczna, przy <math>\gamma \in \mathbb{R}, a > 0,</math>, to: :: <math>\hat{\mu}(z) = \exp (-\frac{1}{2} a z^2 + i \gamma z),\quad z \in \mathbb{R},</math> miara zbioru borelowskiego to: :: <math>~~\hat{~~\mu}(zB) = ~~\exp (-~~\frac{1}{\sqrt{2}\pi a}} ~~z^2~~\int\limits_B ~~+ i~~\exp (\frac{-(x-\gamma z)~~,\quad~~^2}{2a}) zd ~~\in \R~~x.</math>~~, miara zbioru borelowskiego to:~~ ~~: <math> \mu(B) = \frac{1}{\sqrt{2\pi a}} \int\limits_B \exp (\frac{-(x-\gamma)^2}{2a} ) d x</math>.~~ == Zobacz też == * [[przestrzeń mierzalna]]▼ * [[prawdopodobieństwo]] * [[proces stochastyczny\|procesy stochastyczne]] ▲* [[przestrzeń mierzalna]] [[Kategoria:Procesy stochastyczne]]

Proces Lévy’ego: Różnice pomiędzy wersjami