Zginanie: Różnice pomiędzy wersjami

'''Zginanie''' (gięcie) – rodzaj [[deformacja|deformacji]] ciała ([[pręt]]a, [[płyta|płyty]], [[powłoka|powłoki]]), która polega na zmianie [[krzywizna krzywej|krzywizny]] jego [[pręt (mechanika)|osi]] lub [[dźwigary powierzchniowe|powierzchni środkowej]]{{r|Timo}}. W [[przekroje poprzeczne|przekrojach poprzecznych]] elementów zginanych występuje nierównomierność (liniowa zmienność) rozkładu [[naprężenie normalne|naprężeń normalnych]], spowodowana działaniem momentów zginających te przekroje z pominięciem ich ścinania<ref name="Piech">S. Piechnik, ''Wytrzymałość materiałów'', strs. 167-237167–237, Warszawa-Kraków 1980, Wyd. PWN.</ref>.

Obliczaniem zginanych płyt i powłok zajmują się odpowiednie działy [[mechanika ośrodków ciągłych|mechaniki ośrodków ciągłych]]<ref name="Timo">S.P. Timoshenko, S. Vojnowskij-Krieger, ''Teoria płyt i powłok'', WarszawaArkady, Arkady,Warszawa 1962.</ref>.

We wszystkich rozważaniach posługiwać się będziemy prawoskrętnym układem współrzędnych <math>0xyz,</math>, związanym z przekrojem poprzecznym pręta i utożsamianym z układem jego osi [[pręt|głównych, centralnych]]. Oś <math>0x</math> pokrywać się będzie z osią pręta skierowaną poziomo "w„w prawo”, oś <math>0y</math> -– skierujemy "poziomo„poziomo w głąb”, a oś <math>0z</math> – "w„w górę”. Znaki występujące we wzorach będą się odnosić do takiego właśnie układu współrzędnych.

[[FilePlik:Poutre rayon courbure.svg|thumb|360px|Czyste, płaskie zginanie pręta pryzmatycznego]]
[[FilePlik:Poutre moment flechissant et courbure.svg|thumb|360px|Momenty zginające w belce]]

* '''Zginanie czyste''' (proste) występuje wówczas, gdy we wszystkich przekrojach poprzecznych pręta, na całej jego długości, [[siły wewnętrzne]] redukują się tylko do momentu zginającego <math>M,</math>, o wektorze leżącym w płaszczyźnie <math>0yz</math> przekroju{{r|Piech}}. Jeżeli ten wektor ma '''dwie, różne od zera''', składowe <math>M_y</math> i <math>M_z</math> (liczone względem [[pręt (mechanika)|głównych centralnych osi bezwładności]] <math>0y, 0z</math>), to zginanie takie jest '''ukośne''' (dwuosiowe, skośne). W przeciwnym razie, gdy np. <math>M_z = 0,</math>, zginanie jest '''płaskie''' (jednoosiowe, proste) i zachodzi w płaszczyźnie <math>0zx.</math>. [[naprężenie normalne|Naprężenia normalne]] σ<submath>n\sigma_n,</submath>, w przypadku czystego zginania, określone są [[siły przekrojowe|wzorem]]

* '''Zginanie poprzeczne''' charakteryzuje się występowaniem sił poprzecznych <math>Q_y, Q_z,</math>, spowodowanych działaniem obciążeń prostopadłych do osi pręta{{r|Piech}}. Siły te sprawiają, że wartości momentów zginających <math>M_y</math> i <math>M_z</math> są zmienne na długości pręta. Naprężenia normalne określa ten sam wzór jw.

: Ten ogólny przypadek zginania występuje we wszystkich elementach konstrukcji zbudowanej z prętów smukłych, w których wymiary przekroju poprzecznego nie przekraczają <math>\textstyle\fractfrac{1}{10}</math> długości osi pręta.

:: <math>\sigma_{max} = \frac{M_y}{J_y}z_{max}= \frac {M_y} {W_y},\qquad W_y=\frac{J_y}{z_{max}},</math>,

k: <submath>gk_g</submath> – dopuszczalna wytrzymałość na zginanie.

W praktyce inżynierskiej problem zginania prętów rozpatrywany jest na gruncie prostej teorii Eulera-Bernoulliego. Podstawowym założeniem tej teorii jest, że odcinek prosty i prostopadły do osi pręta (lub powierzchni środkowej płyty lub powłoki) przed deformacją, pozostaje prosty i prostopadły po wystąpieniu deformacji. Jest to konsekwencją pominięcia wpływu naprężeń stycznych w przekroju. Dla przypadku czystego płaskiego zginania, względem osi <math>0y,</math>, otrzymujemy dzięki temu liniową zmienność odkształcenia <math>\epsilon_x</math> wzdłuż wysokości przekroju pręta

:: <math>\epsilon_x = \frac{z}{\rho}.</math>.

Zgodnie z [[prawoPrawo Hooke'aHooke’a|prawem Hooke'aHooke’a]] naprężenia normalne wyrażają się wzorem

:: <math>\sigma_x = E \frac{z}{\rho}.</math>.

,</math>,

:: <math>\sigma_x(x,z) = \frac{M_y(x)}{J_y}z.</math>.

:: <math>EJ_y w''(x) = -M_y(x).</math>.

Na podstawie twierdzenia [[Twierdzenie Schwedlera-Żurawskiego|Schwedlera-Żurawskiego]], przy założeniu że <math>EJ_y=\mathrm{const},</math>, otrzymujemy podstawowe równanie Eulera-Bernoulliego dla pręta zginanego

Prostoliniowy pręt pryzmatyczny zginany względem osi <math>0y</math> tzn. w płaszczyźnie <math>0zx,</math> ulega wygięciu w tej płaszczyźnie. Deformacja ta polega na tym, że oś pręta, prostoliniowa przed wygięciem, przybiera postać krzywej <math>w(x)</math> o [[krzywizna krzywej|krzywiźnie]] <math>\kappa(x).</math> Parametry tej krzywej określa działające obciążenie i ich wyznaczenie można przeprowadzić następująco.

Z nieodkształconego pręta wycinamy przekrojami <math>A,\ B</math> element o długości <math>dx.</math> Proste prostopadłe do osi w tych punktach są do siebie równoległe. Na skutek wygięcia osi przekroje <math>A,\ B</math> obracają się względem siebie o kąt <math>d\varphi</math> i taki sam kąt tworzą proste dotąd równoległe. Przecinają się one w punkcie <math>O</math> odległym o <math>\rho</math> od osi <math>0x.</math> Odległość tę nazywamy [[krzywizna krzywej|''promieniem krzywizny'']], przy czym zachodzi związek <math>\kappa = \textstyle\fractfrac{1}{\rho}.</math> Wydłużenie „włókna” położonego w odległości <math>z</math> od osi obojętnej przekroju wynosi <math>\Delta dx.</math>

:: <math>\sigma=\epsilon E,\qquad\sigma = \frac{M_yz}{J_y}</math>

Uwzględniając fakt, że <math>\kappa = \textstyle\fractfrac{1}{\rho}\approx w^{''}</math> otrzymujemy przy założeniu, że <math>EJ_y(x)=\mathrm{const},</math>, następujące związki:

<math>EJ_yw^{''}(x) = -M_y(x),\quad EJ_yw^{'''}(x) = -Q_z(x),\quad \underline{EJ_yw^{''''}(x) = q(x)}.</math>

W przypadku ogólnym, dla każdego przedziału <math>[x_0,\;,x]</math> osi <math>0x</math> pręta pryzmatycznego, na długości którego <math>q(x)=q=\mathrm{const},</math> można napisać

w(x) &= w_0+\textstyle{\fractfrac{1}{2}}M_0(x-x_0)^2+\textstyle{\fractfrac{1}{6}}Q_0(x-x_0)^3 +\textstyle{\fractfrac{1}{24}}q_z(x-x_0)^4, \\

w^'(x) &= w^'_0+M_0(x-x_0)+\textstyle{\fractfrac{1}{2}}Q_0(x-x0)^2+\textstyle{\fractfrac{1}{6}}q_z(x-x_0)^3, \\

EJ_yw^{''}(x) &= M_0+Q_0(x-x_0)+\textstyle{\fractfrac{1}{2}}q_z(x-x_0)^2, \\

EJ_yw^{'''}(x) &= Q_0+q_z(x-x_0), \\

EJ_yw^{''''}(x) &= q_z,

gdzie przez <math>w_0,\;, w^'_0,\;,Q_0,\;,M_0</math> oznaczono wartości obliczone dla przekroju w punkcie <math>x_0</math> na osi pręta.

Dana jest [[pręt pryzmatyczny|pryzmatyczna]] (<math>(EJ_y(x)=\mathrm{const})</math>) [[belki proste|belka wspornikowa]] o długości <math>L</math> utwierdzona na prawym końcu (<math>(x=L)</math>) i zginana w płaszczyźnie <math>0xz</math> obciążeniem o wartości ''<math>q''</math> stałej na całej długości. Warunki brzegowe są dla niej następujące:

:: <math>M_y(0) = Q_z(0) = w(L) = w^{'}(L) = 0.</math>