Zginanie

Zginanie (gięcie) – deformacja ciała (pręta, płyty, powłoki), która polega na zmianie krzywizny jego osi lub powierzchni środkowej. W przekrojach poprzecznych elementów zginanych występuje nierównomierność (liniowa zmienność) rozkładu naprężeń normalnych, spowodowana działaniem momentów zginających te przekroje.

Zginanie belki

W mechanice konstrukcji rzeczywiste ciała zastępuje się ich modelami mechanicznymi takimi jak pręty, płyty, powłoki. Obliczaniem zginanych płyt i powłok zajmują się odpowiednie działy mechaniki ośrodków ciągłych.

Układ współrzędnych

We wszystkich rozważaniach posługiwać się będziemy prawoskrętnym układem współrzędnych $Oxyz,$ związanym z przekrojem poprzecznym $S^{(-)}$ pręta, którego normalna zewnętrzna jest skierowana zgodnie z ujemnym zwrotem osi $Ox.$ Układ $Oxyz$ będzie utożsamiany z układem osi głównych, centralnych. Oś $Ox$ pokrywać się będzie z osią pręta skierowaną poziomo „w prawo”, oś $Oy$ – skierujemy „poziomo w głąb”, a oś $Oz$ – „w górę”. Znaki występujące we wzorach będą się odnosić do takiego właśnie układu współrzędnych.

Siły przekrojowe w przekroju $S^{(-)}$ są dodatnie wtedy, gdy mają zwroty zgodne z układem osi $Oxyz.$ Wartości tych sił wynikają z redukcji lewostronnych obciążeń zewnętrznych do środka ciężkości przekroju $S^{(-)}.$

Rodzaje zginania

W wytrzymałości materiałów rozróżniane są następujące przypadki zginania:

Czyste, płaskie zginanie pręta pryzmatycznego

Momenty zginające w belce

• Zginanie czyste (proste) występuje wówczas, gdy we wszystkich przekrojach poprzecznych pręta, na całej jego długości, siły wewnętrzne redukują się tylko do momentu zginającego, o wektorze leżącym w płaszczyźnie przekroju pręta. Jeżeli ten wektor ma dwie, różne od zera składowe $M_{y}$ i $M_{z}$ (liczone względem głównych centralnych osi bezwładności $Oy,Oz$), to zginanie takie jest ukośne (dwuosiowe, skośne). W przeciwnym razie, gdy np. $M_{z}=0,$ zginanie jest płaskie (jednoosiowe, proste) i zachodzi w płaszczyźnie $Ozx.$ Naprężenia normalne $\sigma _{n},$ w przypadku czystego zginania, określone są przez siły przekrojowe wzorem

$\sigma _{n}=-{\frac {M_{z}}{I_{z}}}y+{\frac {M_{y}}{I_{y}}}z,$

w którym przez $I_{y},I_{z}$ oznaczono główne centralne momenty bezwładności przekroju pręta.

• Zginanie poprzeczne charakteryzuje się występowaniem sił poprzecznych $Q_{y},Q_{z},$ spowodowanych działaniem obciążeń prostopadłych do osi pręta. Siły te sprawiają, że wartości momentów zginających $M_{y}$ i $M_{z}$ są zmienne na długości pręta. Naprężenia normalne określa ten sam wzór co wyżej.
• Ściskanie/rozciąganie mimośrodowe jest superpozycją działania momentów zginających $M_{y}$ i $M_{z}$ z działaniem siły podłużnej $N.$ Naprężenie normalne określone jest wzorem

$\sigma _{n}={\frac {N}{A}}-{\frac {M_{z}}{I_{z}}}y+{\frac {M_{y}}{I_{y}}}z.$

Ten ogólny przypadek zginania występuje we wszystkich elementach konstrukcji zbudowanych z prętów smukłych, w których wymiary przekroju poprzecznego nie przekraczają 1/10 długości osi pręta.

Maksymalne naprężenie normalne w przekroju poprzecznym pręta występuje dla $z_{max}$ i wynosi:

$\sigma _{max}={\frac {M_{y}}{I_{y}}}z_{max}={\frac {M_{y}}{W_{y}}},\qquad W_{y}={\frac {I_{y}}{z_{max}}},$

gdzie:

$W_{y}$ – wskaźnik (współczynnik) wytrzymałości przekroju na zginanie, który zależy od rozmiaru i kształtu przekroju pręta.

Zgodnie z hipotezą wytężeniową naprężenie $\sigma _{max}$ musi spełniać warunek:

$\sigma _{max}<k_{g},$

gdzie:

$k_{g}$ – dopuszczalna wytrzymałość na zginanie.

Teoria Eulera-Bernoulliego

W praktyce inżynierskiej problem zginania prętów rozpatrywany jest na gruncie prostej teorii Eulera-Bernoulliego. Podstawowym założeniem tej teorii jest, że odcinek prosty i prostopadły do osi pręta (lub powierzchni środkowej płyty lub powłoki) przed deformacją, pozostaje prosty i prostopadły po wystąpieniu deformacji. Jest to konsekwencją pominięcia wpływu naprężeń stycznych w przekroju. Dla przypadku czystego płaskiego zginania, względem osi $Oy,$ otrzymujemy dzięki temu liniową zmienność odkształcenia $\epsilon _{x}$ wzdłuż wysokości przekroju pręta

$\epsilon _{x}={\frac {z}{\rho }}.$

Zgodnie z prawem Hooke’a naprężenia normalne wyrażają się wzorem

$\sigma _{x}=E{\frac {z}{\rho }}.$

W rozważanym przypadku otrzymujemy:

$M_{y}=\int _{A}z\sigma _{x}dA=E\int _{A}{\frac {z^{2}}{\rho }}dA={\frac {E}{\rho }}\int _{A}z^{2}dA={\frac {E}{\rho }}I_{y},$

gdzie $I_{y}$ jest momentem bezwładności względem osi $Oy$ pręta.

Z porównania wzorów wynika, że

$\sigma _{x}(x,z)={\frac {M_{y}(x)}{I_{y}}}z.$

Dla bardzo małych przemieszczeń i odkształceń krzywiznę osi pręta można przybliżyć drugą pochodną linii ugięcia $w(x){:}$

$\kappa ={\frac {1}{\rho }}\approx w''(x),$

otrzymując równanie różniczkowe tej linii:

$EI_{y}w''(x)=-\,M_{y}(x).$

Znak minus w tym równaniu wynika stąd, że dodatni moment $M_{y}(x)$ działający w przekroju $S$ powoduje wygięcie pręta skierowane wypukłością ku górze.

Na podstawie twierdzenia Schwedlera-Żurawskiego, przy założeniu że $EI_{y}=\mathrm {const} ,$ otrzymujemy podstawowe równanie Eulera-Bernoulliego dla pręta zginanego

$EI_{y}w^{IV}(x)=q_{z}(x).$

Przykład 1

Na podstawie teorii Eulera-Bernoulliego, dla przykładu, rozważymy szczegółowo przypadek płaskiego zginania poprzecznego, gdy $M_{z}=0.$

Analizując równowagę elementu o długości $dx$ wyciętego z pręta zginanego poprzecznie obciążeniem zewnętrznym $q_{z}(x),$ dochodzi się, na podstawie zapisanych dla niego dwu równań równowagi statycznej w płaszczyźnie $Ozx$ do dwóch podstawowych związków pomiędzy obciążeniem, siłą poprzeczną i momentem zginającym (twierdzenie Schwedlera-Żurawskiego)

${\frac {dQ_{z}(x)}{dx}}=-q_{z}(x),\qquad {\frac {dM_{y}(x)}{dx}}=Q_{z}(x),$

skąd po zróżniczkowaniu i podstawieniu otrzymuje się podstawowe równanie

${\frac {d^{2}M_{y}(x)}{dx^{2}}}=-q_{z}(x).$

Prostoliniowy pręt pryzmatyczny zginany względem osi $Oy$ tzn. w płaszczyźnie $Ozx,$ ulega wygięciu w tej płaszczyźnie. Deformacja ta polega na tym, że oś pręta, prostoliniowa przed wygięciem, przybiera postać krzywej $w(x)$ o krzywiźnie $\kappa (x).$ Parametry tej krzywej określa działające obciążenie i ich wyznaczenie można przeprowadzić następująco.

Z nieodkształconego pręta wycinamy przekrojami $A,\ B$ element o długości $dx.$ Proste prostopadłe do osi w tych punktach są do siebie równoległe. Na skutek wygięcia osi przekroje $A,\ B$ obracają się względem siebie o kąt $d\varphi$ i taki sam kąt tworzą proste dotąd równoległe. Przecinają się one w punkcie $O$ odległym o $\rho$ od osi $Ox.$ Odległość tę nazywamy promieniem krzywizny, przy czym zachodzi związek $\kappa ={\tfrac {1}{\rho }}.$ Wydłużenie „włókna” położonego w odległości $z$ od osi obojętnej przekroju wynosi $\Delta dx.$

Po uwzględnieniu podobieństwa trójkątów i wykorzystaniu wzorów

$\sigma =\epsilon E,\qquad \sigma ={\frac {M_{y}z}{I_{y}}}$

otrzymujemy dla wydłużenia jednostkowego $\epsilon$ wzór

$\epsilon ={\frac {\Delta dx}{dx}}={\frac {z}{\rho }}={\frac {\sigma }{E}}={\frac {M_{y}z}{EI_{y}}}.$

Uwzględniając fakt, że $\kappa ={\tfrac {1}{\rho }}\approx w''$ otrzymujemy przy założeniu, że $EI_{y}(x)=\mathrm {const} ,$ następujące związki: $EI_{y}w''(x)=-M_{y}(x),\quad EI_{y}w'''(x)=-Q_{z}(x),\quad {\underline {EI_{y}w''''(x)=q(x)}}.$

W przypadku ogólnym, dla każdego przedziału $[x_{0},\,x]$ osi $Ox$ pręta pryzmatycznego, na długości którego $q(x)=q=\mathrm {const} ,$ można napisać

${\begin{aligned}w(x)&=w_{0}+{\tfrac {1}{2}}M_{0}(x-x_{0})^{2}+{\tfrac {1}{6}}Q_{0}(x-x_{0})^{3}+{\tfrac {1}{24}}q_{z}(x-x_{0})^{4},\\w^{'}(x)&=w_{0}^{'}+M_{0}(x-x_{0})+{\tfrac {1}{2}}Q_{0}(x-x0)^{2}+{\tfrac {1}{6}}q_{z}(x-x_{0})^{3},\\EI_{y}w''(x)&=M_{0}+Q_{0}(x-x_{0})+{\tfrac {1}{2}}q_{z}(x-x_{0})^{2},\\EI_{y}w'''(x)&=Q_{0}+q_{z}(x-x_{0}),\\EI_{y}w''''(x)&=q_{z},\end{aligned}}$

gdzie przez $w_{0},\,w_{0}^{'},\,Q_{0},\,M_{0}$ oznaczono wartości obliczone dla przekroju w punkcie $x_{0}$ na osi pręta.

Przykład 2

Dana jest pryzmatyczna $(EI_{y}(x)=const)$ belka wspornikowa o długości $L$ utwierdzona na prawym końcu $(x=L)$ i zginana w płaszczyźnie $Oxz$ obciążeniem o wartości q stałej na całej długości. Warunki brzegowe są dla niej następujące:

$M_{y}(0)=Q_{z}(0)=w(L)=w^{'}(L)=0,$

gdzie przez $w(x)$ oznaczono rzędną linii ugięcia osi.

Otrzymujemy kolejno po uwzględnieniu warunków brzegowych

$EI_{y}w^{''''}=q,\quad EI_{y}w^{'''}=qx,\quad EI_{y}w^{''}={\frac {1}{2}}qx^{2},$

$EI_{y}w^{'}={\frac {1}{6}}q(x^{3}-L^{3}),\quad EI_{y}w={\frac {q}{24}}(x^{4}-4L^{3}x+3L^{4})$

i dalej

$w(0)={\frac {1}{8}}{\frac {qL^{4}}{EI_{y}}},\quad w^{'}(0)=-{\frac {1}{6}}{\frac {qL^{3}}{EI_{y}}},\quad M_{y}(L)={\frac {1}{2}}qL^{2},\quad Q_{z}(L)=qL.$

Zobacz też

• statyczna próba zginania

Linki zewnętrzne

• Belka
• Belka na sprężystym podłożu 1. limba.wil.pk.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2015-05-29)].
• Zginanie. wb.po.opole.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2016-08-26)].
• http://kmm.p.lodz.pl/dydaktyka/uzupeln/belka_spr_podl.pdf
• http://chodor-projekt.net/encyclopedia/belka-timoshenko-sprezyste-podloze/