Zginanie (gięcie) – deformacja ciała (pręta, płyty, powłoki), która polega na zmianie krzywizny jego osi lub powierzchni środkowej[1]. W przekrojach poprzecznych elementów zginanych występuje nierównomierność (liniowa zmienność) rozkładu naprężeń normalnych, spowodowana działaniem momentów zginających te przekroje[2].

Zginanie belki

W mechanice konstrukcji rzeczywiste ciała zastępuje się ich modelami mechanicznymi takimi jak pręty, płyty, powłoki. Obliczaniem zginanych płyt i powłok zajmują się odpowiednie działy mechaniki ośrodków ciągłych[1].

Układ współrzędnychEdytuj

We wszystkich rozważaniach posługiwać się będziemy prawoskrętnym układem współrzędnych   związanym z przekrojem poprzecznym   pręta, którego normalna zewnętrzna jest skierowana zgodnie z ujemnym zwrotem osi   Układ   będzie utożsamiany z układem osi głównych, centralnych. Oś   pokrywać się będzie z osią pręta skierowaną poziomo „w prawo”, oś   – skierujemy „poziomo w głąb”, a oś   – „w górę”. Znaki występujące we wzorach będą się odnosić do takiego właśnie układu współrzędnych.

Siły przekrojowe w przekroju   są dodatnie wtedy, gdy mają zwroty zgodne z układem osi   Wartości tych sił wynikają z redukcji lewostronnych obciążeń zewnętrznych do środka ciężkości przekroju  

Rodzaje zginaniaEdytuj

W wytrzymałości materiałów rozróżniane są następujące przypadki zginania:

 
Czyste, płaskie zginanie pręta pryzmatycznego
 
Momenty zginające w belce
  • Zginanie czyste (proste) występuje wówczas, gdy we wszystkich przekrojach poprzecznych pręta, na całej jego długości, siły wewnętrzne redukują się tylko do momentu zginającego, o wektorze leżącym w płaszczyźnie przekroju pręta[2]. Jeżeli ten wektor ma dwie, różne od zera składowe   i   (liczone względem głównych centralnych osi bezwładności  ), to zginanie takie jest ukośne (dwuosiowe, skośne). W przeciwnym razie, gdy np.   zginanie jest płaskie (jednoosiowe, proste) i zachodzi w płaszczyźnie   Naprężenia normalne   w przypadku czystego zginania, określone są przez siły przekrojowe wzorem
 
w którym przez   oznaczono główne centralne momenty bezwładności przekroju pręta.
  • Zginanie poprzeczne charakteryzuje się występowaniem sił poprzecznych   spowodowanych działaniem obciążeń prostopadłych do osi pręta[2]. Siły te sprawiają, że wartości momentów zginających   i   są zmienne na długości pręta. Naprężenia normalne określa ten sam wzór co wyżej.
  • Ściskanie/rozciąganie mimośrodowe jest superpozycją działania momentów zginających   i   z działaniem siły podłużnej   Naprężenie normalne określone jest wzorem[2]
 
Ten ogólny przypadek zginania występuje we wszystkich elementach konstrukcji zbudowanych z prętów smukłych, w których wymiary przekroju poprzecznego nie przekraczają 1/10 długości osi pręta.
Maksymalne naprężenie normalne w przekroju poprzecznym pręta występuje dla   i wynosi:
 

gdzie:

  •   – wskaźnik (współczynnik) wytrzymałości przekroju na zginanie, który zależy od rozmiaru i kształtu przekroju pręta.

Zgodnie z hipotezą wytężeniową naprężenie   musi spełniać warunek:

 

gdzie:

  – dopuszczalna wytrzymałość na zginanie.

Teoria Eulera-BernoulliegoEdytuj

W praktyce inżynierskiej problem zginania prętów rozpatrywany jest na gruncie prostej teorii Eulera-Bernoulliego. Podstawowym założeniem tej teorii jest, że odcinek prosty i prostopadły do osi pręta (lub powierzchni środkowej płyty lub powłoki) przed deformacją, pozostaje prosty i prostopadły po wystąpieniu deformacji. Jest to konsekwencją pominięcia wpływu naprężeń stycznych w przekroju. Dla przypadku czystego płaskiego zginania, względem osi   otrzymujemy dzięki temu liniową zmienność odkształcenia   wzdłuż wysokości przekroju pręta

 

Zgodnie z prawem Hooke’a naprężenia normalne wyrażają się wzorem

 

W rozważanym przypadku otrzymujemy:

 

gdzie   jest momentem bezwładności względem osi   pręta.

Z porównania wzorów wynika, że

 

Dla bardzo małych przemieszczeń i odkształceń krzywiznę osi pręta można przybliżyć drugą pochodną linii ugięcia  

 

otrzymując równanie różniczkowe tej linii:

 

Znak minus w tym równaniu wynika stąd, że dodatni moment   działający w przekroju   powoduje wygięcie pręta skierowane wypukłością ku górze.

Na podstawie twierdzenia Schwedlera-Żurawskiego, przy założeniu że   otrzymujemy podstawowe równanie Eulera-Bernoulliego dla pręta zginanego

 

Przykład 1Edytuj

Na podstawie teorii Eulera-Bernoulliego, dla przykładu, rozważymy szczegółowo przypadek płaskiego zginania poprzecznego, gdy  

Analizując równowagę elementu o długości   wyciętego z pręta zginanego poprzecznie obciążeniem zewnętrznym   dochodzi się, na podstawie zapisanych dla niego dwu równań równowagi statycznej w płaszczyźnie   do dwóch podstawowych związków pomiędzy obciążeniem, siłą poprzeczną i momentem zginającym (twierdzenie Schwedlera-Żurawskiego)

 

skąd po zróżniczkowaniu i podstawieniu otrzymuje się podstawowe równanie

 

Prostoliniowy pręt pryzmatyczny zginany względem osi   tzn. w płaszczyźnie   ulega wygięciu w tej płaszczyźnie. Deformacja ta polega na tym, że oś pręta, prostoliniowa przed wygięciem, przybiera postać krzywej   o krzywiźnie   Parametry tej krzywej określa działające obciążenie i ich wyznaczenie można przeprowadzić następująco.

Z nieodkształconego pręta wycinamy przekrojami   element o długości   Proste prostopadłe do osi w tych punktach są do siebie równoległe. Na skutek wygięcia osi przekroje   obracają się względem siebie o kąt   i taki sam kąt tworzą proste dotąd równoległe. Przecinają się one w punkcie   odległym o   od osi   Odległość tę nazywamy promieniem krzywizny, przy czym zachodzi związek   Wydłużenie „włókna” położonego w odległości   od osi obojętnej przekroju wynosi  

Po uwzględnieniu podobieństwa trójkątów i wykorzystaniu wzorów

 

otrzymujemy dla wydłużenia jednostkowego   wzór

 

Uwzględniając fakt, że   otrzymujemy przy założeniu, że   następujące związki:  

W przypadku ogólnym, dla każdego przedziału   osi   pręta pryzmatycznego, na długości którego   można napisać

 

gdzie przez   oznaczono wartości obliczone dla przekroju w punkcie   na osi pręta.

Przykład 2Edytuj

Dana jest pryzmatyczna   belka wspornikowa o długości   utwierdzona na prawym końcu   i zginana w płaszczyźnie   obciążeniem o wartości q stałej na całej długości. Warunki brzegowe są dla niej następujące:

 

gdzie przez   oznaczono rzędną linii ugięcia osi.

Otrzymujemy kolejno po uwzględnieniu warunków brzegowych

 
 

i dalej

 

PrzypisyEdytuj

  1. a b S.P. Timoshenko, S. Vojnowskij-Krieger, Teoria płyt i powłok, Arkady, Warszawa 1962.
  2. a b c d S. Piechnik, Wytrzymałość materiałów, s. 167–237, Warszawa-Kraków 1980, Wyd. PWN.

Linki zewnętrzneEdytuj