Siły przekrojowe

Siła przekrojowa – jedno z podstawowych pojęć[1] z zakresu wytrzymałości materiałów stosowane również w mechanice ośrodków ciągłych. W obu tych dyscyplinach chodzi o znajdowanie rzeczywistego rozkładu naprężeń w ciałach fizycznych poddanych określonym obciążeniom zewnętrznym. Ogólnie stosowana metoda badawcza polega na dokonywaniu wirtualnych przecięć analizowanego ośrodka i uzewnętrznianiu działania sił wewnętrznych. Na to aby przecięty ośrodek zachowywał się tak samo jak przed przecięciem, potrzeba i wystarcza spełnienie ogólnych warunków równowagi zapisanych dla dowolnej z dwu części powstałych w wyniku dokonanego przecięcia. Na skutek tego przecięcia powstają dwa, nieskończenie bliskie, przekroje poprzeczne i W każdym punkcie przekroju działa naprężenie wielkość wektorowa o dwu składowych: normalnej do powierzchni przekroju poprzecznego i stycznej do tego przekroju. W punkcie przekroju odpowiadającym dokładnie punktowi z przekroju działa naprężenie przeciwnego znaku Dzięki temu oba przekroje oddziaływają na siebie wzajemnie w sposób równoważny. Dlatego bywa, że nie rozróżnia się tych dwu przekrojów, utożsamiając je ze sobą.

Rozkład naprężeń w przekroju poprzecznym ciała lub wywołany działaniem danego obciążenia, jest w ogólnym przypadku, zupełnie nieznany. Dlatego najczęściej z tym przekrojem wiąże się konkretny, kartezjański układ współrzędnych (gdzie – jest osią pręta, a – jest płaszczyzną jego przekroju) i w tym układzie definiuje się tzw. siły przekrojowe[2]

  • siłę podłużną – – o dodatnim zwrocie zgodnym z normalną zewnętrzną przekroju,
  • siłę poprzeczną – – działającą w kierunku zgodnym z osią
  • siłę poprzeczną – – działającą w kierunku zgodnym z osią
  • moment zginający – – o zwrocie wektora zgodnym z osią
  • moment zginający – – o zwrocie wektora zgodnym z osią
  • moment skręcający –
    – o zwrocie wektora zgodnym z osią

gdzie:

są składowymi naprężenia stycznego odpowiednio w kierunku osi

Obliczenie wartości sił przekrojowych na podstawie powyższych wzorów byłoby oczywiście możliwe wtedy, gdyby były znane funkcje W przypadku ogólnym są one jednak nieznane i można tylko próbować je odgadnąć, co udaje się tylko w najprostszych przypadkach[3]. I tak na przykład założenie, że

prowadzi do rezultatów bardzo ważnych dla praktyki obliczeniowej.

Rozważmy pręt pryzmatyczny o stałym polu przekroju poprzecznego rozciągany siłą osiową stałą na całej długości pręta. Z warunku równowagi zapisanego dla części np. otrzymamy, że Przyjmując, że otrzymujemy, że Stąd

W rozważanym przypadku pozostałe siły przekrojowe mają wartości zerowe.

Gdy obciążenie pręta pryzmatycznego sprowadza się do działania dwu przeciwnie kręcących momentów skupionych na przeciwległych jego końcach w płaszczyźnie możemy zapisać warunek równowagi np. części w postaci

Jeżeli przyjmiemy, że to otrzymamy

Stąd

Analogicznie otrzymujemy dla przypadku zginania względem osi tzn. w płaszczyźnie

Dla przypadku, gdy otrzymujemy podstawowy wzór ogólny dla pręta pryzmatycznego mimośrodowo rozciąganego/ściskanego

w którym reprezentują działające obciążenie, a oznaczają odpowiednio pole przekroju poprzecznego i jego główne, centralne momenty bezwładności względem osi

Siły przekrojowe nie są od siebie niezależne. Rozważając element o długości wycięty z pręta pryzmatycznego, możemy dla niego zapisać trzy warunki równowagi w płaszczyźnie

w których przez oznaczono gęstości obciążeń zewnętrznych działających na pręt. Na podstawie tych równań otrzymujemy

Dla pręta pryzmatycznego, o przekroju symetrycznym względem osi obciążonego w płaszczyźnie można w prosty sposób wyznaczyć rozkład naprężeń stycznych W tym celu trzeba wyodrębnić z tego pręta fragment o długości a następnie odciąć górną część fragmentu płaszczyzną równoległą do na wysokości Warunek równowagi sił działających na fragment w kierunku osi (po wykorzystaniu związku ) przybiera postać


gdzie:

  • – naprężenie styczne w poziomie działające w płaszczyźnie
  • – pole górnej części przekroju odciętej płaszczyzną o równaniu
  • – moment statyczny części przekroju (j.w.) liczony względem osi
  • – szerokość przekroju mierzona na wysokości

Na podstawie tego wzoru otrzymuje się dla przypadku przekroju prostokątnego o wymiarach

Jak wynika ze wzoru, rozkład naprężeń stycznych jest silnie nieliniowy o maksymalnej wartości na osi obojętnej przekroju poprzecznego.

PrzypisyEdytuj

  1. Olszowski B., Radwańska M., Mechanika budowli, Politechnika Krakowska Kraków 2010, s. 21.
  2. Bielajew N.M., Wytrzymałość materiałów, Wyd. MON, Warszawa 1954.
  3. Piechnik S., Wytrzymałość materiałów, PWN, Warszawa-Kraków 1980.

Linki zewnętrzneEdytuj