Wersja z 22:36, 11 kwi 2018 edytuj Tomasz59 (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 5506 edycji m →‎Zobacz też Znacznik: VisualEditor ← poprzednia edycja		Wersja z 06:48, 20 kwi 2019 edytuj anuluj edycję Beno (dyskusja \| edycje) Redaktorzy, Administratorzy interfejsu, Administratorzy 133 401 edycji m WP:SK+Bn następna edycja →
Linia 4: == Iloczyn kartezjański == Niech <math>\{G_i~~\colon~~ : i \in I\}</math> będzie [[rodzina zbiorów\|rodziną]] grup, gdzie <math>I</math> jest co najwyżej [[zbiór przeliczalny\|przeliczalnym]] zbiorem indeksów. Rozważmy [[iloczyn kartezjański]]▼ : <math>\prod_{i \in I} G_i = G_1 \times G_2 \times \dots \times G_n \times \dots = \{(g_1, g_2, \dots, g_n, \dots)~~\colon~~ : g_i \in G_i, i \in I\}</math>▼ ▲Niech <math>\{G_i\colon i \in I\}</math> będzie [[rodzina zbiorów\|rodziną]] grup, gdzie <math>I</math> jest co najwyżej [[zbiór przeliczalny\|przeliczalnym]] zbiorem indeksów. Rozważmy [[iloczyn kartezjański]] ▲:<math>\prod_{i \in I} G_i = G_1 \times G_2 \times \dots \times G_n \times \dots = \{(g_1, g_2, \dots, g_n, \dots)\colon g_i \in G_i, i \in I\}</math> z [[działanie dwuargumentowe\|działaniem]] : <math>(g_1, g_2, \dots, g_n, \dots)(h_1, h_2, \dots, h_n, \dots) \overset\underset\mathrm{def}\ = (g_1 h_1, g_2 h_2, \dots, g_n h_n, \dots).</math>. Powyższe działanie wprowadza w tym zbiorze strukturę grupy, gdyż * [[element neutralny\|elementem neutralnym]] jest <math>e = (e_1, e_2, \dots, e_n, \dots),</math>, gdzie <math>e_i</math> jest elementem neutralnym grupy <math>G_i</math> dla każdego <math>i \in I,</math>, * [[element odwrotny\|elementem odwrotnym]] do elementu <math>g = (g_1, g_2, \dots, g_n, \dots)</math> jest <math>g^{-1} = (g_1^{-1}, g_2^{-1}, \dots, g_n^{-1}, \dots).</math>. Powyższą konstrukcję nazywa się '''iloczynem kartezjańskim''' grup i oznacza symbolem <math>\prod_{i \in I} G_i.</math>. W definicji zastosowano dla każdej grupy [[~~grupa~~Grupa ~~multyplikatywna~~multiplikatywna\|zapis multyplikatywny]]. == Iloczyn prosty == '''Iloczynem (produktem) prostym (zewnętrznym)''' grup <math>G_i</math> określonych wyżej nazywa się [[podgrupa\|podgrupę]] iloczynu kartezjańskiego grup <math>\prod_{i \in I} G_i</math> określonego równością : <math>\coprod_{i \in I} G_i \overset\underset\mathrm{def}\ = \{(g_1, g_2, \dots, g_n, \dots)~~\colon~~ : \exists_m\; \forall_{i > m}\; g_i = e_i\}.</math>. Iloczyn prosty jest więc zbiorem tych elementów iloczynu kartezjańskiego, których prawie wszystkie współrzędne są jedynkami odpowiednich grup. Grupa, która może być wyrażona jako iloczyn prosty właściwych podgrup jest nazywana '''rozkładalną''', w przeciwnym wypadku nosi ona nazwę '''nierozkładalnej'''. === ~~Uwagi~~Własności === Jeżeli <math>I = \{1, 2, \dots, n\}</math> jest [[zbiór skończony\|zbiorem skończonym]], to iloczyn prosty pokrywa się z iloczynem kartezjańskim grup, wówczas do jego oznaczenia stosuje się również zapis <math>G_1 \times G_2 \times \dots \times G_n.</math>. Jeżeli jednak <math>I = \mathbb N</math> jest [[zbiór przeliczalny\|zbiorem przeliczalnym]], a <math>G_i</math> są [[grupa trywialna\|nietrywialne]] dla nieskończenie wielu <math>i \in I,</math>, to <math>\coprod G_i < \prod G_i.</math>. === Suma prosta === Jeżeli rozważamy grupy <math>A_i</math> z [[grupa addytywna\|addytywnym sposobem zapisu]], to iloczyn prosty nazywa się wówczas '''sumą prostą''' i pisze : <math>\bigoplus_{i \in I} A_i.</math>. W [[Algebra ogólna\|algebrze abstrakcyjnej]] sumy proste grup uogólnia się na sumy proste [[przestrzeń liniowa\|przestrzeni liniowych]], [[moduł (matematyka)\|modułów]] i innych struktur, więcej w artykule o [[suma prosta modułów\|sumach prostych modułów]]. Sam zapis jest [[przemienność\|przemienny]], tzn. dla sumy prostej dwóch grup przemiennych <math>G = H \oplus K = K \oplus H.</math>. Jest również [[łączność (matematyka)\|łączny]] w sensie, że jeżeli <math>G = H \oplus K</math> oraz <math>K = L \oplus M,</math>, to <math>G = H \oplus (L \oplus M) = H \oplus L \oplus M.</math>. Jeżeli <math>G = H \oplus K,</math>, to można udowodnić, że: * dla dowolnych <math>h \in H,\; k \in K</math> zachodzi <math>h + k = k + h,</math>, * dla dowolnych <math>g \in G</math> istnieją jednoznacznie wyznaczone <math>h \in H,\; k \in K</math> takie, że <math>g = h + k,</math>, * zachodzi skracanie sumy w ilorazie, tzn. <math>(H \oplus K)/K</math> jest izomorficzna z <math>H.</math>. Fakty te uogólnia się łatwo na sumę prostą skończenie wielu grup. Linia 49: == Iloczyn półprosty == === Iloczyn półprosty zewnętrzny === Niech będą dane grupy <math>N</math> i <math>D</math> oraz [[Homomorfizm grup\|homomorfizm]] <math>\varphi\colon D \to \operatorname{Aut}\; N</math> grupy <math>D</math> w [[automorfizm#Grupa automorfizmów\|grupę automorfizmów]] grupy <math>N.</math>. '''Iloczynem półprostym (zewnętrznym)''' grup <math>N</math> i <math>D</math> za pośrednictwem <math>\varphi,</math>, oznaczanym <math>N \rtimes_{\varphi} D,</math>, nazywa się grupę składająca się z elementów <math>(n, d),\; n \in N, d \in D</math> wraz z działaniem określonym wzorem▼ : <math>(n_1, d_1)(n_2, d_2) = \left(n_1 \varphi_{d_1}(n_2), d_1 d_2\right)</math>▼ ▲'''Iloczynem półprostym (zewnętrznym)''' grup <math>N</math> i <math>D</math> za pośrednictwem <math>\varphi</math>, oznaczanym <math>N \rtimes_{\varphi} D</math>, nazywa się grupę składająca się z elementów <math>(n, d),\; n \in N, d \in D</math> wraz z działaniem określonym wzorem ▲:<math>(n_1, d_1)(n_2, d_2) = \left(n_1 \varphi_{d_1}(n_2), d_1 d_2\right)</math> oraz odwrotnością daną przez : <math>(n, d)^{-1} = \left(\varphi_{d^{-1}}(n^{-1}), d^{-1}\right),</math>, i elementem neutralnym : <math>(e, 1)</math> gdzie <math>e \in N</math> oraz <math>1 \in D</math> są elementami neutralnymi. === Iloczyn półprosty wewnętrzny === Niech <math>N</math> będzie [[podgrupa normalna\|podgrupą normalną]] w <math>G.</math>. '''Dopełnieniem normalnym''' <math>D</math> podgrupy <math>N</math> w <math>G</math> nazywamy zbiór spełniający warunki <math>N \cap D = \{e\}</math> oraz <math>ND = G</math> (równoważnie <math>DN = G</math>). Grupę <math>G</math> nazywa się '''iloczynem półprostym wewnętrznym''' podgrup <math>N</math> i <math>D,</math>, co oznacza <math>N \rtimes D</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>D</math> jest dopełnieniem normalnym <math>N.</math>. Jeżeli grupa <math>G</math> jest iloczynem półprostym wewnętrznym swoich podgrup <math>N</math> i <math>D,</math>, to jest ona izomorficzna z iloczynem półprostym zewnętrznym <math>N \rtimes_\varphi D</math> za pośrednictwem homomorfizmu <math>\varphi:D\to \operatorname{Aut} N </math> określonego jako <math>\varphi_d(n) = dnd^{-1},</math>, czyli [[Grupa (matematyka)\|sprzężenie]] <math>n</math> przez <math>d.</math>. Odwrotnie, iloczyn półprosty zewnętrzny <math>N \rtimes_\varphi D</math> jest wewnętrznym iloczynem półprostym swoich podgrup <math>N\times\{1\}</math> oraz <math>\{e\}\times D,</math>, przy czym pierwsza z nich jest podgrupą normalną. === ~~Uwagi~~Własności === * <math>N \rtimes_\varphi D \equiv N \times D</math> wtedy i tylko wtedy, gdy homomorfizm <math>\varphi\colon D \to \operatorname{Aut}\; N</math> jest trywialny. * <math>N \rtimes_\varphi D</math> jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy <math>N, D</math> są przemienne oraz <math>\varphi\colon D \to \operatorname{Aut}\; N</math> jest trywialny. === Przykłady === * [[Grupa diedralna]] rzędu <math>2n</math> jest iloczynem półprostym wewnętrznym <math>D_{2n} = \mathbb Z_n \ltimes \mathbb Z_2.</math>. * Grupa [[izometria\|izometrii]] przestrzeni <math>\mathbb R^n</math> jest iloczynem półprostym grupy [[obrót\|obrotów]] oraz symetrii z grupą [[translacja (matematyka)\|translacji]]. Linia 80 ⟶ 83: == Bibliografia == * Cz. Bagiński, ''Wstęp do teorii grup'', SCRIPT, 2005, {{ISBN\|83-904564-9-4}}. [[Kategoria:Teoria grup]]

Iloczyny grup: Różnice pomiędzy wersjami