Kwaterniony: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Własności algebraiczne kwaternionów: drobne redakcyjne |
Przeniesienie sekcji + redakcja Znacznik: Edytor kodu źródłowego 2017 |
||
Linia 4:
== Konstrukcje ==
{|class="wikitable" align="right" style="text-align:center"
|+ tabelka mnożenia
|-
!width=15| ×
!width=15| e
!width=15| ''i''
!width=15| ''j''
!width=15| ''k''
|-
! e
| e
| ''i''
| ''j''
| ''k''
|-
! ''i''
| ''i''
| –e
| ''k''
| –''j''
|-
! ''j''
| ''j''
| –''k''
| –e
| ''i''
|-
! ''k''
| ''k''
| ''j''
| –''i''
| –e
|}
Jest kilka sposobów konstruowania kwaternionów.
=== Kwaternion jako suma algebraiczna ===
Kwaterniony w tej konstrukcji mają postać:
: <math>q=a\cdot \mathbf e+b\cdot\mathbf i+c\cdot\mathbf j+d\cdot\mathbf k,</math> gdzie <math>: a, b, c, d \in \mathbb R</math> zaś <math>\mathbf {e, i, j, k}</math> są pewne obiekty, nazwijmy je ''jednostkami kwaternionu''.
Dodawanie i mnożenie na tych sumach wykonujemy jak na wielomianach czterech zmiennych <math>\mathbf{ e, i, j, k},</math> przy czym mnożenie jednostek <math>\mathbf {e, i, j, k}</math> z uwzględnieniem ich kolejności określa tabelka po prawej.
<math>e</math> jest to element neutralny, tak jak w przypadku innych [[Struktura matematyczna|struktur algebraicznych]] jak np. [[Grupa (matematyka)|grup]]. Często nie uwzględniany w zapisie kwaternionu, trzeba jednak o nim pamiętać i jego zależności z innymi jednostkami.
<math>a \in \mathbb R</math> nazywa się czasami '''częścią rzeczywistą''' kwaternionu <math>q.</math>
=== Przykład ===
Niech
: <math>x=2+3i+4k</math>
: <math>y=2+3j+2k</math>
Wtedy
: <math>x+y=4+3i+3j+6k,</math>
: <math>\begin{align}xy &=(2+3i+4k)(2+3j+2k) \\
&= 2(2+3j+2k)+3i(2+3j+2k)+4k(2+3j+2k) \\
&= 4+6j+4k+6i+9ij+6ik+8k+12kj+8k^2 \\
&= 4+6j+4k+6i+9k+6(-j)+8k+12(-i)+8(-1) \\
&= -4-6i+21k\end{align}</math>
=== Kwaterniony jako macierze zespolone ===
Linia 42 ⟶ 100:
: czyli mnożenie kwaternionów nie jest przemienne.
Z konstrukcji macierzowej bezpośrednio wynika izomorficzność tabelki mnożenia jednostek kwaternionu po prawej.
: <math>
\begin{bmatrix}z & w\\-\overline w & \overline z\end{bmatrix}
Linia 191 ⟶ 207:
* <math>|q\cdot r|=|q|\cdot|r|,</math>
* <math>|q+r|\leqslant|q|+|r|</math> ([[nierówność trójkąta]]),
== Geometryczna interpretacja mnożenia ==
| |||