Naprężenie: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Znacznik: Edytor kodu źródłowego 2017 |
|||
Linia 10:
gdzie:
: <math>\vec s</math> – wypadkowy [[wektor]] naprężenia,
: <math>\Delta\vec F</math> – wypadkowy wektor elementarnych sił wewnętrznych działających na elementarną powierzchnię <math>\Delta A,</math>
: <math>A</math> – pole przekroju,
: <math>\sigma_n</math> – składowa normalna (prostopadła do przekroju),
Linia 21:
: <math>\sigma_x, \; \tau_{xy}, \; \tau_{xz}, \; \sigma_y, \; \tau_{yx}, \; \tau_{yz}, \; \sigma_z, \; \tau_{zx}, \; \tau_{zy}.</math>
Jeżeli zwrot wektora naprężenia normalnego skierowany jest
Na przykład dla powierzchni „górnej” (patrz rysunek), czyli prostopadłej do osi <math>z</math> można napisać:
Linia 42:
Naprężenie dla danej powierzchni przekroju może być opisane przez [[tensor]] naprężenia <math>\sigma</math> reprezentowany przez [[macierz]] zawierającą składowe [[stan naprężenia|stanu naprężenia]], której elementy przekształcają się wraz z przyjętym układem współrzędnych (np. jego obrotem).
Badając pod uwagę równowagę elementarnego sześcianu i zakładając że nie występują naprężenia momentowe (dla których uogólnioną teorię sformułowali bracia Cosserat, 1909<ref name="Gaw">{{Cytuj książkę |nazwisko = Gawęcki |imię = Andrzej |tytuł = Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych |url = http://www.ikb.poznan.pl/almamater/biblioteka/podreczniki_akademicki/ag_mechanika_materialow/01.pdf|wydawca = Alma Mater |data = 2003 |strony = część 1, s. 3, 10}}</ref>), dowodzi się, że tensor naprężenia jest symetryczny, to jest: <math>\sigma_{ij} = \sigma_{ji}.</math>
Wykorzystując poczynione wcześniej założenia, dla układu kartezjańskiego można zapisać:
Linia 48:
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{bmatrix}\quad{}</math>
:: <math>
\sigma_{ij} = \begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
Linia 66:
: '''Dewiator''' – stan czystego ścinania (dewiacyjny) – wywołuje tylko zmianę postaci ciała''':''' sześcian zmienia się w dwuskośny równoległościan bez zmian długości krawędzi{{r|Gaw}}.
:: <math>
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
Linia 73:
\end{bmatrix} =
\underbrace{
\sigma_0 & 0 & 0 \\
0 & \sigma_0 & 0 \\
0 & 0 & \sigma_0
\end{bmatrix}
▲{\text{aksjator}}+</math> <math>
▲+\underbrace
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} - \sigma_0 & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
Linia 87 ⟶ 85:
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} - \sigma_0
\end{bmatrix}
}_
: gdzie:
:: <math>\sigma_0 = \frac {\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3}.</math>
== Niezmienniki stanu naprężenia ==
Tensor naprężenia, jak każdy tensor drugiego rzędu, ma trzy niezmienniki<ref>A. Gawęcki, ''Podstawy mechaniki konstrukcji prętowych'',
:: <math>I_1 = \sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3 = \operatorname{const},</math>
:: <math>I_2 = \sigma_1\cdot\sigma_2 + \sigma_2\cdot\sigma_3 + \sigma_3\cdot\sigma_1 = \operatorname{const},</math>
Linia 110 ⟶ 108:
== Przypisy ==
{{Przypisy}}
== Linki zewnętrzne ==
| |||