Równania Kirchhoffa: Różnice pomiędzy wersjami

{{wzór|<math>x_1=x_1(t),\quad x_2=x_2(t),\quad x_3=x_3(t).</math>.|0}}

Rozważać będziemy element pręta o długości <math>ds,</math>, wycięty z niego dwoma przecięciami <math>S,\,dS</math> w punktach <math>s,\,ds.</math>.

: <math>S^{(+)},\,S^{(-)},\,dS^{(+)},\,dS^{(-)}.</math>.

Znaki <math>(+),\,(-)</math> określają zwroty normalnych zewnętrznych tych przekrojów odniesione do dodatniego zwrotu osi <math>0x</math> określonego wersorem <math>\mathbf i.</math>.

{{wzór|<math>\mathbf r=r_x\mathbf i+r_y\mathbf j+r_z\mathbf k,\quad \mathbf e_1=\mathbf r^',\quad \mathbf e_2=\frac{1}{\kappa}\mathbf e_1^',\quad\mathbf e_3=\mathbf e_1\times\mathbf e_2,</math>,|1}}

{{wzór|<math>\mathbf e_1^'=\kappa\mathbf e_2,\quad\mathbf e_2^' = -\kappa\mathbf e_1-\tau\mathbf e_3,\quad \mathbf e_3^'=\tau\mathbf e_2,</math>,|2}}

a różniczkowanie odbywa się po zmiennej <math>s.</math>.

Dokonujemy przecięcia pręta w punkcie o współrzędnej <math>s</math> i rozważamy przekrój <math>S{(+)}.</math>. Z przekrojem tym wiążemy układ współrzędnych <math>0xyz.</math>. Jeżeli w punkcie <math>R</math> o wektorze wodzącym <math>\mathbf r=r_x\mathbf i+r_y\mathbf j+r_z\mathbf k</math> działa siła skupiona <math>\mathbf P=P_x\mathbf i+P_y\mathbf j+P_z\mathbf k,</math>, to w wyniku '''prawostronnej''' redukcji do środka ciężkości przekroju <math>S{(+)}</math> otrzymujemy

: <math>\mathbf P_s=P_x\mathbf i+P_y\mathbf j+P_z\mathbf k,</math>,

r_x&r_y&r_z\\ P_x&P_y&P_z\end{vmatrix}.</math>.

Gdyby siła <math>P</math> działała w punkcie o wektorze wodzącym <math>-\mathbf r</math> to '''lewostronna''' redukcja do środka ciężkości przekroju <math>S^{(-)}</math> prowadziłaby, '''dla tego samego układu''' <math>0xyz,</math>, do wyniku

: <math>\mathbf P_s=P_x\mathbf i+P_y\mathbf j+P_z\mathbf k,</math>,

: <math>\mathbf M_s=(-\mathbf r)\times\mathbf P=\mathbf P\times\mathbf r.</math>.

Redukcja [[obciążenia zewnętrzne|obciążeń zewnętrznych]] działających na lewo od środka ciężkości przekroju pręta <math>S^{(-)}</math> w punkcie jego osi o współrzędnej <math>s,</math>, daje w wyniku wartości sił przekrojowych w tym przekroju

{{wzór|<math>\mathbf P_s=\mathbf P_o+\int_0^s\!\!\mathbf q(\sigma)d\sigma,</math>,<br />

<math>\mathbf M_s=\mathbf M_o+\mathbf P_o\times(\mathbf r_o-\mathbf r_s)+\int_0^s\!\!\mathbf m(\sigma)d\sigma+\int_0^s\!\!\mathbf q(\sigma)\times(\mathbf r_\sigma-\mathbf r_s)d\sigma,</math>,|3}}

gdzie <math>\mathbf P_o</math> i <math>\mathbf M_o</math> są obciążeniami w przekroju początkowym pręta, dla którego <math>s=0,</math>, a

{{wzór|<math>\mathbf q(\sigma)=q_1(\sigma)\mathbf e_1+q_2(\sigma)\mathbf e_2+q_3(\sigma)\mathbf e_3,</math>,<br />

{{wzór|<math>\mathbf P_s+d\mathbf P_s=\mathbf P_s+\mathbf q(s)ds,</math>,<br />

<math>\mathbf M_s+d\mathbf M_s=\mathbf M_s+\mathbf m(s)ds+\mathbf P_s\times d\mathbf r,</math>,|5}}

{{wzór|<math>\mathbf P^'_s=\mathbf q(s),</math>,<br />

<math>\mathbf M^'_s=\mathbf m(s)+\mathbf P_s\times\tfrac{d\mathbf r}{ds}=\mathbf m(s)+\mathbf P_s\times\mathbf e_1,</math>,

<math>\mathbf P_s\times\mathbf e_1=(P_1\mathbf e_1+P_2\mathbf e_2+P_3\mathbf e_3)\times\mathbf e_1=P_3\mathbf e_2-P_2\mathbf e_3.</math>.|6}}

Zdefiniujemy teraz '''dodatnie siły przekrojowe''' działające w przekroju <math>S^{(-)}</math> o współrzędnej <math>s</math> i normalnej zewnętrznej <math>-\,\mathbf e_1.</math>. W tym celu napiszemy

{{wzór|<math>\mathbf P_s=P_1\mathbf e_1+P_2\mathbf e_2+P_3\mathbf e_3=N\mathbf e_1+Q\mathbf e_2+T\mathbf e_3,</math>,<br />

<math>\mathbf M_s=M_1\mathbf e_1+M_2\mathbf e_2+M_3\mathbf e_3=M_s\mathbf e_1+M_n\mathbf e_2+M\mathbf e_3,</math>,|7}}

* <math>N</math> – siła podłużna w kierunku osi <math>0\xi_1,</math>,

* <math>Q</math> – siła poprzeczna w kierunku osi <math>0\xi_2,</math>,

* <math>T</math> – siła poprzeczna w kierunku osi <math>0\xi_3,</math>,

* <math>M_s</math> – moment skręcający o wektorze w kierunku osi <math>0\xi_1,</math>,

* <math>M_n</math> – moment zginający o wektorze w kierunku osi <math>0\xi_2,</math>,

* <math>M</math> – moment zginający o wektorze w kierunku osi <math>0\xi_3.</math>.

{{wzór|<math>\mathbf P^'_s=q_1\mathbf e_1+q_2\mathbf e_2+q_3\mathbf e_3,</math>,|10}}

\frac{dQ}{ds}+\kappa N+\tau T=q_2,\quad \frac{dT}{ds}-\tau Q=q_3,</math>,<br />

<math>\frac{dM_s}{ds}-\kappa M_n=m_1,\quad \frac{dM_n}{ds}+\kappa M_s+\tau M=m_2+T,</math>,<br />

<math>\frac{dM}{ds}-\tau M_n=m_3-Q.</math>.

<math>N^'-\kappa Q=q_1,\quad Q^'+\kappa N=q_2,\quad T^'=q_3,</math>,<br />

<math>M_s^'-\kappa M_n=m_1,\quad M_n^'+\kappa M_s=m_2+T,\quad M^'=m_3-Q.</math>.

Jeżeli pręt płasko zakrzywiony jest obciążony tylko w płaszczyźnie swojej osi, to <math>q_3=m_1=m_2=0</math> i gdy <math>T=M_s=M_n=0,</math>, wówczas równania {{LinkWzór|13}} przyjmują postać

: <math>N^'-\kappa Q=q_1,\quad Q^'+\kappa N=q_2,\quad M^'=m_3-Q.</math>.

Gdy na taki pręt działają tylko obciążenia <math>q_3,\,m_1,\,m_2</math> <math>(q_1=q_2=m_3=0)</math> i gdy <math>N=Q=M=0,</math>, wtedy mamy zamiast {{LinkWzór|13}}

: <math>T^'=q_3,\quad M_s^'-\kappa M_n=m_1,\quad M^'_n+\kappa M_s=m_2+T.</math>.

: <math>N^{''}+\kappa^2 N=q^'_1+\kappa q_2,</math>,

: <math>Q^{''}+\kappa^2 Q = -\,\kappa q_1+q^'_2,</math>,

: <math>T^'=q_3,</math>,

: <math>M^{'''}_s+\kappa^2 M^'_s=m^{''}_1+\kappa m^'_2+\kappa q_3,</math>,

: <math>M^{''}_n+\kappa^2M_n = -\,\kappa m_1+m^'_2+q_3,</math>,

: <math>M^'=m_3-Q.</math>.|14}}

: <math>N^'=q_1,\quad Q^'=q_2,\quad T^'=q_3,</math>,

: <math>M^'_s=m_1,\quad M^{''}_n=m^'_2+q_3,\quad M^'=m_3-Q.</math>.|15}}

Pewnego podsumowania wymaga jeszcze kryterium znakowania sił przekrojowych określonych równaniami {{LinkWzór|12}}. W tym celu dokonujemy dwu przecięć pręta w punktach o współrzędnych <math>s</math> i <math>s+ds.</math>. Konsekwencją tych przecięć jest powstanie '''czterech''' przekrojów poprzecznych:

: <math>S^{(+)},\,S^{(-)},\,dS^{(+)},\,dS^{(-)}.</math>.

Znaki <math>(+),\,(-)</math> określają zwroty ich normalnych zewnętrznych odnoszące się do kierunku wersora <math>\mathbf e_1.</math>.

Ze środkiem ciężkości <math>s</math> przekroju <math>S^{(-)}</math> zwiążemy teraz układ współrzędnych <math>0\mathbf e_1\mathbf e_2\mathbf e_3.</math>. Siły przekrojowe <math>N,Q,T,M_s,M_n,M</math> w tym przekroju są dodatnie, gdy działają zgodnie z kierunkami wersorów osi przyjętego układu. Wartości tych sił wynikają z redukcji do punktu <math>s</math> wszystkich obciążeń zewnętrznych pręta działających na lewo od jego przekroju <math>S^{(-)}.</math>.

: <math>\mathbf F_s=[\mathbf P_s,\mathbf M_s],</math>,

: <math>\mathbf F_s+d\mathbf F_s=[\mathbf P_s+d\mathbf P_s,\;\mathbf M_s+d\mathbf M_s].</math>.

: <math>\mathbf f(s)=\mathbf q(s)+\mathbf m(s),</math>,

: <math>-d\mathbf F_s+\mathbf f(s)ds=0\quad\to\quad\tfrac{d}{ds}\mathbf F(s)=\mathbf f(s).</math>.

Dla prostoliniowego pręta o stałej sztywności giętnej <math>EI,</math>, poddanemu tylko obciążeniu <math>q_2,</math>, mamy zgodnie z [[Zginanie|teorią Eulera-Bernoulliego]]

: <math>EIw^{''}(s)=M(s).</math>.

: <math>EIw^{'''}(s) = -Q(s),\quad EIw^{''''} = -\,q_2(s).</math>.

: <math>x=r\cos t=r\cos\tfrac{s}{r},\quad y=r\sin t=r\sin\tfrac{s}{r},\quad \mathbf{s(t)=rt}.</math>.

<math>s(t)=\int_0^s\!d\sigma=\int_0^t\!\!\sqrt{\dot x^2(\tau)+\dot y^2(\tau)+\dot z^2(\tau)}\,d\tau,</math>,|b}}

Dodatkowe utrudnienie wynika z faktu, że wielkości występujące we wzorach {{LinkWzór|3}} są funkcjami zmiennej <math>s</math> (a nie <math>t</math>!), co wymaga podstawienia zależności <math>t=t(s)</math> we wzorach {{LinkWzór|0}}. Jawna postać tej zależności występuje niestety tylko dla najprostszych przypadków. Na przykład dla okręgu <math>t(s)=\tfrac{s}{r}</math> lub dla spirali kołowej <math>t(s)=\tfrac{s}{r}\cos\varphi.</math>.

: <math>x(t)=t,\quad y(t)=t^2,\quad z(t)=0,</math>,

<math>ds(t)=\sqrt{1+4t^2}dt,</math>,|c}}

: <math>s(t)=2\!\int_0^t\!\!\sqrt{\tfrac{1}{4}+\tau^2}d\tau=t\sqrt{\tfrac{1}{4}+t^2}+\tfrac{1}{4}\ln\left(t+\sqrt{\tfrac{1}{4}+t^2}\right)-\tfrac{1}{4}\ln(\tfrac{1}{2}).</math>.

Jak wynika ze wzoru {{LinkWzór|c}} funkcja <math>s(t)</math> jest silnie rosnąca i dla tego wiadomo, że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy wartościami zmiennych <math>s</math> i <math>t.</math>. Jednak nawet dla tego prostego przypadku wyznaczenie jawnej, analitycznej postaci zależności <math>t(s)</math> nie jest możliwe.

: <math>\int_0^s\!\!x_\sigma d\sigma=\int_0^s\!\!x[t(\sigma)]d\sigma,\quad \int_0^s\!\!y_\sigma d\sigma=\int_0^s\!\!y[t(\sigma)]d\sigma,\quad \int_0^s\!\!z_\sigma d\sigma=\int_0^s\!\!z[t(\sigma)]d\sigma,</math>,

występujących we wzorach {{LinkWzór|3}} wymaga zastosowania [[całkowanie numeryczne|numerycznych metod całkowania]]. Wymaga to podzielenia przedziału całkowania <math>(0,\,s)</math> na <math>n</math> podprzedziałów i obliczenia rzędnych <math>x_i,\,y_i,\,z_i</math> funkcji całkowanych, w węzłach podziałowych <math>s_i.</math>. I tu również pojawia się problem bo obliczenie tych rzędnych wymaga <math>n+1</math> krotnego, numerycznego rozwiązywania równań <math>s(t)=s_i</math> w celu wyznaczenia rzędnych <math>t_i(s_i).</math>.

[[Wzory Freneta#Przykłady|'''1. Spirala kołowa''']] prawoskrętna wokoło osi <math>0z.</math>.<br />

: <math>x(t)=r\cos t,\quad y(t)=r\sin t,\quad z(t)=\tfrac{hr}{2\pi}t,</math>,

względem osi kartezjańskiego układu współrzędnych <math>0xyz.</math>. Wersory tych osi oznaczymy przez <math>\mathbf i,\,\mathbf j,\,\mathbf k.</math>.

Oś pręta jest [[Wzory Freneta#Przykłady|linią śrubową]], czyli spiralą nawiniętą na walec kołowy o promieniu <math>r.</math>. [[Gwint|Skok spirali]] wynosi <math>hr.</math>.

Siły wyznaczymy jako funkcje zmiennej <math>s</math> liczonej wzdłuż osi pręta od jego lewego końca w punkcie <math>s=0</math> o współrzędnych <math>(r,\,0,\,0).</math>.

Założymy, że pręt jest całkowicie utwierdzony w przekroju o współrzędnej <math>s=r\sqrt{4\pi^2+h^2}\;\;(t=2\pi)</math> i zupełnie swobodny w przekroju o współrzędnej <math>s=0.</math>.

Wyznaczenie sił przekrojowych dla punktu <math>s</math> wymaga wprowadzenia w tym punkcie układu [[Wzory Freneta|współrzędnych Freneta]] <math>0\mathbf e_1\mathbf e_2\mathbf e_3.</math>. Wersory tego układu mają w układzie <math>0xyz</math> [[Wzory Freneta#Przykłady|następujące współrzędne]]

: <math>\mathbf e_1=(-\cos\varphi\sin t,\;\cos\varphi\cos t,\;\sin\varphi),</math>,

: <math>\mathbf e_2=(-\cos t,\;-\sin t,\;0),</math>,

: <math>\mathbf e_3=(\sin\varphi\sin t,\;-\sin\varphi\cos t,\;\cos\varphi),</math>,

gdzie <math>\varphi</math> jest kątem nachylenia stycznej do osi pręta względem płaszczyzny <math>0xy.</math>.

: <math>P_x=0,\quad P_y=0,\quad P_z = -P-\int_0^s qd\sigma = -(P+qs),</math>,

: <math>P_1=N=P_z\mathbf k\mathbf e_1 = -(P+qs)\sin\varphi,</math>,

: <math>P_2=Q=P_z\mathbf k\mathbf e_2=0,</math>,

: <math>P_3=T=P_z\mathbf k\mathbf e_3 = -(P+qs)\cos\varphi.</math>.

: <math>M_x=Py_s+\int_0^s qy_\sigma d\sigma=Pr\sin\alpha s+\tfrac{qr}{\alpha}(1-\cos\alpha s),</math>,

: <math>\alpha=\tfrac{\cos\varphi}{r},\quad \mathbf{\alpha s=t},\quad x_s=r\cos\alpha s,\quad y_s=r\sin\alpha s,\quad \sigma\in[0,s],</math>,

: <math>{}\qquad +q\int_0^s x_\sigma d\sigma -qx_s\int_0^s d\sigma=Pr(1-\cos\alpha s)+\tfrac{qr}{\alpha}\sin\alpha s-qrs\cos\alpha s,</math>,

: <math>M_z=0,</math>,

'''2. Lewoskrętna spirala kołowa''' na walcu o osi <math>0y.</math>.

: <math>x(t)=r\cos t,\quad y(t)=\tfrac{hr}{2\pi}t,\quad z(t)=r\sin t,</math>,

: <math>\dot x(t) = -r\sin t,\quad \dot y(t)=\tfrac{hr}{2\pi},\quad \dot z(t)=r\cos t,</math>,

: <math>ds=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2} =r\kappa dt,</math>,

: <math>\kappa=\sqrt{1+\tfrac{h^2}{4\pi^2}},\quad \tfrac{1}{\kappa}=\cos\varphi,\quad \tfrac{h}{2\pi\kappa}=\sin\varphi,</math>,

gdzie <math>\varphi</math> jest kątem nachylenia stycznej do osi pręta do płaszczyzny <math>0zx,</math>,

: <math>x^'(s) = -\cos\varphi\sin t,\quad y^'(s)=\sin\varphi,\quad \cos\varphi\cos t,</math>,

: <math>\mathbf e_1=(-\cos\varphi\sin t,\;\sin\varphi,\;\cos\varphi\cos t),</math>,

: <math>x^{''}(s) = -\tfrac{1}{\rho}\cos t,\quad y^{''}(s)=0,\quad z^{''}(s) = -\tfrac{1}{\rho}\sin t,\quad \rho=\tfrac{r}{\cos^2\varphi},</math>,

: <math>\mathbf e_2=(-\cos t,\;0,\;-\sin t),</math>,

: <math>\mathbf e_3=\mathbf e_1\times\mathbf e_2=(-\sin\varphi\sin t,\;-\cos\varphi,\;\sin\varphi\cos t).</math>.

Obciążeniem pręta jest jego ciężar własny <math>\mathbf q = -q\mathbf k.</math>. Pręt jest w pełni zamocowany w przekroju końcowym.

: <math>\mathbf P_s=P_x\mathbf i+P_y\mathbf j+P_z\mathbf k = -\int_0^s q\mathbf k d\sigma = -qs\mathbf k,</math>,

: <math>\alpha=\tfrac{\cos\varphi}{r},\quad \mathbf{\alpha s=t},\quad x_s=x(s)=r\cos\alpha s,\quad y_s=y(s)=\tfrac{hr}{2\pi}\alpha s,</math>,

: <math>M_i=\mathbf M_s\mathbf e_i=M_x\mathbf i\mathbf e_i+M_y\mathbf j\mathbf e_i,\quad i=1,2,3,</math>,

: <math>M_1=M_x(-\cos\varphi\sin t)+M_y(\sin\varphi),</math>,

: <math>M_2=M_x(-\cos t),</math>,

: <math>M_3=M_x(-\sin\varphi\sin t)+M_y(-\cos\varphi).</math>.

'''3. Okrąg na płaszczyźnie''' o normalnej <math>\mathbf b=(0, -\sin\alpha,\,\cos\alpha).</math>.

względem układu współrzędnych <math>0xyz.</math>.

: <math>\mathbf e_1=(-\sin t,\,\cos\alpha\cos t,\,\sin\alpha\cos t),</math>,

: <math>\mathbf e_2=(-\cos t,\,-\cos\alpha\sin t,\,-\sin\alpha\sin t),</math>,

: <math>\mathbf e_3=\mathbf e_1\times\mathbf e_2=(0,\,-\sin\alpha,\,\cos\alpha).</math>.

Pręt jest przecięty w punkcie początkowym o współrzędnej <math>t=0</math> i jest w pełni utwierdzony w punkcie końcowym przy <math>t=2\pi.</math>. Przekrój początkowy <math>S^{(-)}</math> jest swobodny i obciążony skupionym momentem skręcającym <math>\mathbf M=M\mathbf j.</math>.

: <math>P_1=P_2=P_3=0,</math>,

: <math>M_x=0,\;M_y=M,\;M_z=0,</math>,

: <math>\mathbf M_s = M_x\mathbf i+M_y\mathbf j+M_z\mathbf k = M_1\mathbf e_1+M_2\mathbf e_2+M_3\mathbf e_3,</math>,

: <math>M_1 = M_x\mathbf i\mathbf e_1+M_y\mathbf j\mathbf e_1+M_z\mathbf k\mathbf e_1 = M\cos\alpha\cos t,</math>,

: <math>M_2 = M_x\mathbf i\mathbf e_2+M_y\mathbf j\mathbf e_2+M_z\mathbf k\mathbf e_2 = -M\cos\alpha\sin t,</math>,

: <math>M_3 = M_x\mathbf i\mathbf e_3+M_y\mathbf j\mathbf e_3+M_z\mathbf k\mathbf e_3 = -M\sin\alpha.</math>.