Równania Kirchhoffa to równania różniczkowe opisujące stan równowagi statycznej obciążonego pręta zakrzywionego przestrzennie[1] [2]
Do opisu tego stanu trzeba posłużyć się dwoma układami współrzędnych : nieruchomym kartezjańskim
0
x
y
z
{\displaystyle 0xyz}
wersorach osi
i
,
j
,
k
{\displaystyle \mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} }
Freneta
0
ξ
1
ξ
2
ξ
3
{\displaystyle 0\xi _{1}\xi _{2}\xi _{3}}
e
1
,
e
2
,
e
3
{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}
stycznej , normalnej głównej i binormalnej do osi pręta.
Oś pręta jest określona parametrycznie[3]
x
1
=
x
1
(
t
)
,
x
2
=
x
2
(
t
)
,
x
3
=
x
3
(
t
)
.
{\displaystyle x_{1}=x_{1}(t),\quad x_{2}=x_{2}(t),\quad x_{3}=x_{3}(t).}
(0)
Rozważać będziemy element pręta o długości
d
s
,
{\displaystyle ds,}
S
,
d
S
{\displaystyle S,\,dS}
s
,
d
s
.
{\displaystyle s,\,ds.}
W wyniku tych przecięć powstają cztery przekroje poprzeczne
S
(
+
)
,
S
(
−
)
,
d
S
(
+
)
,
d
S
(
−
)
.
{\displaystyle S^{(+)},\,S^{(-)},\,dS^{(+)},\,dS^{(-)}.}
Znaki
(
+
)
,
(
−
)
{\displaystyle (+),\,(-)}
0
x
{\displaystyle 0x}
i
.
{\displaystyle \mathbf {i} .}
Wersory Freneta i ich pochodne można zapisać następująco[4]
r
=
r
x
i
+
r
y
j
+
r
z
k
,
e
1
=
r
′
,
e
2
=
1
κ
e
1
′
,
e
3
=
e
1
×
e
2
,
{\displaystyle \mathbf {r} =r_{x}\mathbf {i} +r_{y}\mathbf {j} +r_{z}\mathbf {k} ,\quad \mathbf {e} _{1}=\mathbf {r} ^{'},\quad \mathbf {e} _{2}={\frac {1}{\kappa }}\mathbf {e} _{1}^{'},\quad \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2},}
(1)
e
1
′
=
κ
e
2
,
e
2
′
=
−
κ
e
1
−
τ
e
3
,
e
3
′
=
τ
e
2
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}^{'}=\kappa \mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {e} _{2}^{'}=-\kappa \mathbf {e} _{1}-\tau \mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {e} _{3}^{'}=\tau \mathbf {e} _{2},}
(2)
gdzie:
κ
{\displaystyle \kappa }
krzywizną osi łuku,
τ
{\displaystyle \tau }
torsją ,a różniczkowanie odbywa się po zmiennej
s
.
{\displaystyle s.}
Siły przekrojowe
edytuj
Redukcja obciążeń zewnętrznych działających na lewo od środka ciężkości przekroju pręta
S
(
−
)
{\displaystyle S^{(-)}}
s
,
{\displaystyle s,}
P
s
=
P
o
+
∫
0
s
q
(
σ
)
d
σ
,
{\displaystyle \mathbf {P} _{s}=\mathbf {P} _{o}+\int _{0}^{s}\!\!\mathbf {q} (\sigma )d\sigma ,}
M
s
=
M
o
+
P
o
×
(
r
o
−
r
s
)
+
∫
0
s
m
(
σ
)
d
σ
+
∫
0
s
q
(
σ
)
×
(
r
σ
−
r
s
)
d
σ
,
{\displaystyle \mathbf {M} _{s}=\mathbf {M} _{o}+\mathbf {P} _{o}\times (\mathbf {r} _{o}-\mathbf {r} _{s})+\int _{0}^{s}\!\!\mathbf {m} (\sigma )d\sigma +\int _{0}^{s}\!\!\mathbf {q} (\sigma )\times (\mathbf {r} _{\sigma }-\mathbf {r} _{s})d\sigma ,}
(3)
gdzie
P
o
{\displaystyle \mathbf {P} _{o}}
M
o
{\displaystyle \mathbf {M} _{o}}
s
=
0
,
{\displaystyle s=0,}
q
(
σ
)
=
q
1
(
σ
)
e
1
+
q
2
(
σ
)
e
2
+
q
3
(
σ
)
e
3
,
{\displaystyle \mathbf {q} (\sigma )=q_{1}(\sigma )\mathbf {e} _{1}+q_{2}(\sigma )\mathbf {e} _{2}+q_{3}(\sigma )\mathbf {e} _{3},}
m
(
σ
)
=
m
1
(
σ
)
e
1
+
m
2
(
σ
)
e
2
+
m
3
(
σ
)
e
3
{\displaystyle \mathbf {m} (\sigma )=m_{1}(\sigma )\mathbf {e} _{1}+m_{2}(\sigma )\mathbf {e} _{2}+m_{3}(\sigma )\mathbf {e} _{3}}
(4)
są obciążeniami rozłożonymi w sposób ciągły wzdłuż osi.
Wektory
r
o
=
r
(
s
=
0
)
,
r
σ
=
r
(
s
=
σ
)
,
r
s
=
r
(
s
)
{\displaystyle \mathbf {r} _{o}=\mathbf {r} (s=0),\,\mathbf {r} _{\sigma }=r(s=\sigma ),\,\mathbf {r} _{s}=r(s)}
0
,
L
,
S
{\displaystyle 0,L,S}
Na długości elementu nie występują żadne obciążenia skupione .
W wyniku lewostronnej redukcji obciążeń do środka ciężkości przekroju
d
S
(
−
)
{\displaystyle dS^{(-)}}
P
s
+
d
P
s
=
P
s
+
q
(
s
)
d
s
,
{\displaystyle \mathbf {P} _{s}+d\mathbf {P} _{s}=\mathbf {P} _{s}+\mathbf {q} (s)ds,}
M
s
+
d
M
s
=
M
s
+
m
(
s
)
d
s
+
P
s
×
d
r
,
{\displaystyle \mathbf {M} _{s}+d\mathbf {M} _{s}=\mathbf {M} _{s}+\mathbf {m} (s)ds+\mathbf {P} _{s}\times d\mathbf {r} ,}
(5)
stąd zaś
P
s
′
=
q
(
s
)
,
{\displaystyle \mathbf {P} _{s}^{'}=\mathbf {q} (s),}
M
s
′
=
m
(
s
)
+
P
s
×
d
r
d
s
=
m
(
s
)
+
P
s
×
e
1
,
{\displaystyle \mathbf {M} _{s}^{'}=\mathbf {m} (s)+\mathbf {P} _{s}\times {\tfrac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {m} (s)+\mathbf {P} _{s}\times \mathbf {e} _{1},}
P
s
×
e
1
=
(
P
1
e
1
+
P
2
e
2
+
P
3
e
3
)
×
e
1
=
P
3
e
2
−
P
2
e
3
.
{\displaystyle \mathbf {P} _{s}\times \mathbf {e} _{1}=(P_{1}\mathbf {e} _{1}+P_{2}\mathbf {e} _{2}+P_{3}\mathbf {e} _{3})\times \mathbf {e} _{1}=P_{3}\mathbf {e} _{2}-P_{2}\mathbf {e} _{3}.}
(6)
Zdefiniujemy teraz dodatnie siły przekrojowe działające w przekroju
S
(
−
)
{\displaystyle S^{(-)}}
s
{\displaystyle s}
−
e
1
.
{\displaystyle -\,\mathbf {e} _{1}.}
P
s
=
P
1
e
1
+
P
2
e
2
+
P
3
e
3
=
N
e
1
+
Q
e
2
+
T
e
3
,
{\displaystyle \mathbf {P} _{s}=P_{1}\mathbf {e} _{1}+P_{2}\mathbf {e} _{2}+P_{3}\mathbf {e} _{3}=N\mathbf {e} _{1}+Q\mathbf {e} _{2}+T\mathbf {e} _{3},}
M
s
=
M
1
e
1
+
M
2
e
2
+
M
3
e
3
=
M
s
e
1
+
M
n
e
2
+
M
e
3
,
{\displaystyle \mathbf {M} _{s}=M_{1}\mathbf {e} _{1}+M_{2}\mathbf {e} _{2}+M_{3}\mathbf {e} _{3}=M_{s}\mathbf {e} _{1}+M_{n}\mathbf {e} _{2}+M\mathbf {e} _{3},}
(7)
gdzie:
N
{\displaystyle N}
siła podłużna w kierunku osi
0
ξ
1
,
{\displaystyle 0\xi _{1},}
Q
{\displaystyle Q}
0
ξ
2
,
{\displaystyle 0\xi _{2},}
T
{\displaystyle T}
0
ξ
3
,
{\displaystyle 0\xi _{3},}
M
s
{\displaystyle M_{s}}
moment skręcający o wektorze w kierunku osi
0
ξ
1
,
{\displaystyle 0\xi _{1},}
M
n
{\displaystyle M_{n}}
moment zginający o wektorze w kierunku osi
0
ξ
2
,
{\displaystyle 0\xi _{2},}
M
{\displaystyle M}
0
ξ
3
.
{\displaystyle 0\xi _{3}.}
Korzystając z (7) , możemy na podstawie (2) napisać
P
s
′
=
P
1
′
e
1
+
P
2
′
e
2
+
P
3
′
e
3
+
P
1
e
1
′
+
P
2
e
2
′
+
P
3
e
3
′
=
P
1
′
e
1
+
P
2
′
e
2
+
P
3
′
e
3
+
P
1
(
κ
e
2
)
+
P
2
(
−
κ
e
1
−
τ
e
3
)
+
P
3
(
τ
e
2
)
=
(
P
1
′
−
κ
P
2
)
e
1
+
(
P
2
′
+
κ
P
1
+
τ
P
3
)
e
2
+
(
P
3
′
−
τ
P
2
)
e
3
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{s}^{'}&=P_{1}^{'}\mathbf {e} _{1}+P_{2}^{'}\mathbf {e} _{2}+P_{3}^{'}\mathbf {e} _{3}+P_{1}\mathbf {e} _{1}^{'}+P_{2}\mathbf {e} _{2}^{'}+P_{3}\mathbf {e} _{3}^{'}\\[2pt]&=P_{1}^{'}\mathbf {e} _{1}+P_{2}^{'}\mathbf {e} _{2}+P_{3}^{'}\mathbf {e} _{3}+P_{1}(\kappa \mathbf {e} _{2})+P_{2}(-\kappa \mathbf {e} _{1}-\tau \mathbf {e} _{3})+P_{3}(\tau \mathbf {e} _{2})\\[2pt]&=(P_{1}^{'}-\kappa P_{2})\mathbf {e} _{1}+(P_{2}^{'}+\kappa P_{1}+\tau P_{3})\mathbf {e} _{2}+(P_{3}^{'}-\tau P_{2})\mathbf {e} _{3},\end{aligned}}}
(8)
M
s
′
=
M
1
′
e
1
+
M
2
′
e
2
+
M
3
′
e
3
+
M
1
e
1
′
+
M
2
e
2
′
+
M
3
e
3
′
=
M
1
′
e
1
+
M
2
′
e
2
+
M
3
′
e
3
+
M
1
(
κ
e
2
)
+
M
2
(
−
κ
e
1
−
τ
e
3
)
+
M
3
(
τ
e
2
)
=
(
M
1
′
−
κ
M
2
)
e
1
+
(
M
2
′
+
κ
M
1
+
τ
M
3
)
e
2
+
(
M
3
′
−
τ
M
2
)
e
3
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\\[1px]\mathbf {M} _{s}^{'}&=M_{1}^{'}\mathbf {e} _{1}+M_{2}^{'}\mathbf {e} _{2}+M_{3}^{'}\mathbf {e} _{3}+M_{1}\mathbf {e} _{1}^{'}+M_{2}\mathbf {e} _{2}^{'}+M_{3}\mathbf {e} _{3}^{'}\\[2pt]&=M_{1}^{'}\mathbf {e} _{1}+M_{2}^{'}\mathbf {e} _{2}+M_{3}^{'}\mathbf {e} _{3}+M_{1}(\kappa \mathbf {e} _{2})+M_{2}(-\kappa \mathbf {e} _{1}-\tau \mathbf {e} _{3})+M_{3}(\tau \mathbf {e} _{2})\\[2pt]&=(M_{1}^{'}-\kappa M_{2})\mathbf {e} _{1}+(M_{2}^{'}+\kappa M_{1}+\tau M_{3})\mathbf {e} _{2}+(M_{3}^{'}-\tau M_{2})\mathbf {e} _{3}.\end{aligned}}}
(9)
Na podstawie (6) i (7) mamy
P
s
′
=
q
1
e
1
+
q
2
e
2
+
q
3
e
3
,
{\displaystyle \mathbf {P} _{s}^{'}=q_{1}\mathbf {e} _{1}+q_{2}\mathbf {e} _{2}+q_{3}\mathbf {e} _{3},}
(10)
M
s
′
=
m
(
s
)
−
P
2
e
3
+
P
3
e
2
=
m
1
e
1
+
m
2
e
2
+
m
3
e
3
−
P
2
e
3
+
P
3
e
2
=
m
1
e
1
+
(
m
2
+
P
3
)
e
2
+
(
m
3
−
P
2
)
e
3
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} _{s}^{'}&=\mathbf {m} (s)-P_{2}\mathbf {e} _{3}+P_{3}\mathbf {e} _{2}\\[2pt]&=m_{1}\mathbf {e} _{1}+m_{2}\mathbf {e} _{2}+m_{3}\mathbf {e} _{3}-P_{2}\mathbf {e} _{3}+P_{3}\mathbf {e} _{2}\\[2pt]&=m_{1}\mathbf {e} _{1}+(m_{2}+P_{3})\mathbf {e} _{2}+(m_{3}-P_{2})\mathbf {e} _{3}.\end{aligned}}}
(11)
Porównując współrzędne wektorów (8) –(11) i uwzględniając (7) , otrzymujemy układ równań Kirchhoffa o postaci[1]
d
N
d
s
−
κ
Q
=
q
1
,
d
Q
d
s
+
κ
N
+
τ
T
=
q
2
,
d
T
d
s
−
τ
Q
=
q
3
,
{\displaystyle {\frac {dN}{ds}}-\kappa Q=q_{1},\quad {\frac {dQ}{ds}}+\kappa N+\tau T=q_{2},\quad {\frac {dT}{ds}}-\tau Q=q_{3},}
d
M
s
d
s
−
κ
M
n
=
m
1
,
d
M
n
d
s
+
κ
M
s
+
τ
M
=
m
2
+
T
,
{\displaystyle {\frac {dM_{s}}{ds}}-\kappa M_{n}=m_{1},\quad {\frac {dM_{n}}{ds}}+\kappa M_{s}+\tau M=m_{2}+T,}
d
M
d
s
−
τ
M
n
=
m
3
−
Q
.
{\displaystyle {\frac {dM}{ds}}-\tau M_{n}=m_{3}-Q.}
(12)
Dla pręta płasko zakrzywionego (tzn. gdy
τ
≡
0
{\displaystyle \tau \equiv 0}
[1]
N
′
−
κ
Q
=
q
1
,
Q
′
+
κ
N
=
q
2
,
T
′
=
q
3
,
{\displaystyle N^{'}-\kappa Q=q_{1},\quad Q^{'}+\kappa N=q_{2},\quad T^{'}=q_{3},}
M
s
′
−
κ
M
n
=
m
1
,
M
n
′
+
κ
M
s
=
m
2
+
T
,
M
′
=
m
3
−
Q
.
{\displaystyle M_{s}^{'}-\kappa M_{n}=m_{1},\quad M_{n}^{'}+\kappa M_{s}=m_{2}+T,\quad M^{'}=m_{3}-Q.}
(13)
Jeżeli pręt płasko zakrzywiony jest obciążony tylko w płaszczyźnie swojej osi, to
q
3
=
m
1
=
m
2
=
0
{\displaystyle q_{3}=m_{1}=m_{2}=0}
T
=
M
s
=
M
n
=
0
,
{\displaystyle T=M_{s}=M_{n}=0,}
(13) przyjmują postać
N
′
−
κ
Q
=
q
1
,
Q
′
+
κ
N
=
q
2
,
M
′
=
m
3
−
Q
.
{\displaystyle N^{'}-\kappa Q=q_{1},\quad Q^{'}+\kappa N=q_{2},\quad M^{'}=m_{3}-Q.}
Gdy na taki pręt działają tylko obciążenia
q
3
,
m
1
,
m
2
{\displaystyle q_{3},\,m_{1},\,m_{2}}
(
q
1
=
q
2
=
m
3
=
0
)
{\displaystyle (q_{1}=q_{2}=m_{3}=0)}
N
=
Q
=
M
=
0
,
{\displaystyle N=Q=M=0,}
(13)
T
′
=
q
3
,
M
s
′
−
κ
M
n
=
m
1
,
M
n
′
+
κ
M
s
=
m
2
+
T
.
{\displaystyle T^{'}=q_{3},\quad M_{s}^{'}-\kappa M_{n}=m_{1},\quad M_{n}^{'}+\kappa M_{s}=m_{2}+T.}
Dla pręta o stałej krzywiźnie osi (tzn. gdy
κ
≡
c
o
n
s
t
{\displaystyle \kappa \equiv \mathrm {const} }
(13) dają się rozprzęgnąć do postaci
N
″
+
κ
2
N
=
q
1
′
+
κ
q
2
,
{\displaystyle N^{''}+\kappa ^{2}N=q_{1}^{'}+\kappa q_{2},}
Q
″
+
κ
2
Q
=
−
κ
q
1
+
q
2
′
,
{\displaystyle Q^{''}+\kappa ^{2}Q=-\,\kappa q_{1}+q_{2}^{'},}
T
′
=
q
3
,
{\displaystyle T^{'}=q_{3},}
M
s
‴
+
κ
2
M
s
′
=
m
1
″
+
κ
m
2
′
+
κ
q
3
,
{\displaystyle M_{s}^{'''}+\kappa ^{2}M_{s}^{'}=m_{1}^{''}+\kappa m_{2}^{'}+\kappa q_{3},}
M
n
″
+
κ
2
M
n
=
−
κ
m
1
+
m
2
′
+
q
3
,
{\displaystyle M_{n}^{''}+\kappa ^{2}M_{n}=-\,\kappa m_{1}+m_{2}^{'}+q_{3},}
M
′
=
m
3
−
Q
.
{\displaystyle M^{'}=m_{3}-Q.}
(14)
W szczególności dla pręta o osi prostoliniowej (tzn. gdy
κ
≡
0
{\displaystyle \kappa \equiv 0}
N
′
=
q
1
,
Q
′
=
q
2
,
T
′
=
q
3
,
{\displaystyle N^{'}=q_{1},\quad Q^{'}=q_{2},\quad T^{'}=q_{3},}
M
s
′
=
m
1
,
M
n
″
=
m
2
′
+
q
3
,
M
′
=
m
3
−
Q
.
{\displaystyle M_{s}^{'}=m_{1},\quad M_{n}^{''}=m_{2}^{'}+q_{3},\quad M^{'}=m_{3}-Q.}
(15)
Pewnego podsumowania wymaga jeszcze kryterium znakowania sił przekrojowych określonych równaniami (12) . W tym celu dokonujemy dwu przecięć pręta w punktach o współrzędnych
s
{\displaystyle s}
s
+
d
s
.
{\displaystyle s+ds.}
czterech przekrojów poprzecznych:
S
(
+
)
,
S
(
−
)
,
d
S
(
+
)
,
d
S
(
−
)
.
{\displaystyle S^{(+)},\,S^{(-)},\,dS^{(+)},\,dS^{(-)}.}
Znaki
(
+
)
,
(
−
)
{\displaystyle (+),\,(-)}
e
1
.
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}.}
Ze środkiem ciężkości
s
{\displaystyle s}
S
(
−
)
{\displaystyle S^{(-)}}
0
e
1
e
2
e
3
.
{\displaystyle 0\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}.}
N
,
Q
,
T
,
M
s
,
M
n
,
M
{\displaystyle N,Q,T,M_{s},M_{n},M}
s
{\displaystyle s}
S
(
−
)
.
{\displaystyle S^{(-)}.}
Wykorzystując oznaczenia (9) i (10) , możemy dla przekroju
S
(
−
)
{\displaystyle S^{(-)}}
F
s
=
[
P
s
,
M
s
]
,
{\displaystyle \mathbf {F} _{s}=[\mathbf {P} _{s},\mathbf {M} _{s}],}
a dla przekroju
d
S
(
−
)
{\displaystyle dS^{(-)}}
F
s
+
d
F
s
=
[
P
s
+
d
P
s
,
M
s
+
d
M
s
]
.
{\displaystyle \mathbf {F} _{s}+d\mathbf {F} _{s}=[\mathbf {P} _{s}+d\mathbf {P} _{s},\;\mathbf {M} _{s}+d\mathbf {M} _{s}].}
Jeżeli obciążenie zewnętrzne, działające na element
(
s
,
s
+
d
s
)
{\displaystyle (s,s+ds)}
f
(
s
)
=
q
(
s
)
+
m
(
s
)
,
{\displaystyle \mathbf {f} (s)=\mathbf {q} (s)+\mathbf {m} (s),}
to z warunku jego równowagi otrzymamy zamiast (12)
−
d
F
s
+
f
(
s
)
d
s
=
0
→
d
d
s
F
(
s
)
=
f
(
s
)
.
{\displaystyle -d\mathbf {F} _{s}+\mathbf {f} (s)ds=0\quad \to \quad {\tfrac {d}{ds}}\mathbf {F} (s)=\mathbf {f} (s).}
Dla prostoliniowego pręta o stałej sztywności giętnej
E
I
,
{\displaystyle EI,}
q
2
,
{\displaystyle q_{2},}
teorią Eulera-Bernoulliego
E
I
w
″
(
s
)
=
M
(
s
)
.
{\displaystyle EIw^{''}(s)=M(s).}
Na podstawie wzorów (15) otrzymuje się
E
I
w
‴
(
s
)
=
−
Q
(
s
)
,
E
I
w
⁗
=
−
q
2
(
s
)
.
{\displaystyle EIw^{'''}(s)=-Q(s),\quad EIw^{''''}=-\,q_{2}(s).}
Podsumowanie
edytuj
Podstawowa trudność w praktycznym zastosowaniu równań Kirchhoffa polega na tym, że wielkości występujące w tych równaniach są funkcjami parametru naturalnego
s
{\displaystyle s}
długość rozważanej krzywej. Związek
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
t
{\displaystyle t}
x
=
x
(
t
)
,
y
=
y
(
t
)
,
z
=
z
(
t
)
{\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t)}
(a)
daje się zapisać w sposób jawny tylko w najprostszych przypadkach takich jak na przykład dla okręgu
x
=
r
cos
t
=
r
cos
s
r
,
y
=
r
sin
t
=
r
sin
s
r
,
s
(
t
)
=
r
t
.
{\displaystyle x=r\cos t=r\cos {\tfrac {s}{r}},\quad y=r\sin t=r\sin {\tfrac {s}{r}},\quad \mathbf {s(t)=rt} .}
W ogólnym przypadku długość łuku określona jest całką
s
(
t
)
=
∫
0
s
d
σ
=
∫
0
t
x
˙
2
(
τ
)
+
y
˙
2
(
τ
)
+
z
˙
2
(
τ
)
d
τ
,
{\displaystyle s(t)=\int _{0}^{s}\!d\sigma =\int _{0}^{t}\!\!{\sqrt {{\dot {x}}^{2}(\tau )+{\dot {y}}^{2}(\tau )+{\dot {z}}^{2}(\tau )}}\,d\tau ,}
(b)
której obliczenie zazwyczaj stanowi istotny problem.
Dodatkowe utrudnienie wynika z faktu, że wielkości występujące we wzorach (3) są funkcjami zmiennej
s
{\displaystyle s}
t
{\displaystyle t}
t
=
t
(
s
)
{\displaystyle t=t(s)}
(0) . Jawna postać tej zależności występuje niestety tylko dla najprostszych przypadków. Na przykład dla okręgu
t
(
s
)
=
s
r
{\displaystyle t(s)={\tfrac {s}{r}}}
t
(
s
)
=
s
r
cos
φ
.
{\displaystyle t(s)={\tfrac {s}{r}}\cos \varphi .}
Nawet jeżeli całka we wzorze (b) daje się obliczyć, to wyznaczenie zależności odwrotnej
t
(
s
)
{\displaystyle t(s)}
płaskiej paraboli
x
(
t
)
=
t
,
y
(
t
)
=
t
2
,
z
(
t
)
=
0
,
{\displaystyle x(t)=t,\quad y(t)=t^{2},\quad z(t)=0,}
dla której[5]
d
s
(
t
)
=
1
+
4
t
2
d
t
,
{\displaystyle ds(t)={\sqrt {1+4t^{2}}}dt,}
(c)
s
(
t
)
=
2
∫
0
t
1
4
+
τ
2
d
τ
=
t
1
4
+
t
2
+
1
4
ln
(
t
+
1
4
+
t
2
)
−
1
4
ln
(
1
2
)
.
{\displaystyle s(t)=2\!\int _{0}^{t}\!\!{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}+\tau ^{2}}}d\tau =t{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}+t^{2}}}+{\tfrac {1}{4}}\ln \left(t+{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}+t^{2}}}\right)-{\tfrac {1}{4}}\ln({\tfrac {1}{2}}).}
Jak wynika ze wzoru (c) funkcja
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
rosnąca i dlatego wiadomo, że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy wartościami zmiennych
s
{\displaystyle s}
t
.
{\displaystyle t.}
t
(
s
)
{\displaystyle t(s)}
W przypadku ogólnym, gdy krzywa jest opisana równaniami (a) , obliczanie całek
∫
0
s
x
σ
d
σ
=
∫
0
s
x
[
t
(
σ
)
]
d
σ
,
∫
0
s
y
σ
d
σ
=
∫
0
s
y
[
t
(
σ
)
]
d
σ
,
∫
0
s
z
σ
d
σ
=
∫
0
s
z
[
t
(
σ
)
]
d
σ
,
{\displaystyle \int _{0}^{s}\!\!x_{\sigma }d\sigma =\int _{0}^{s}\!\!x[t(\sigma )]d\sigma ,\quad \int _{0}^{s}\!\!y_{\sigma }d\sigma =\int _{0}^{s}\!\!y[t(\sigma )]d\sigma ,\quad \int _{0}^{s}\!\!z_{\sigma }d\sigma =\int _{0}^{s}\!\!z[t(\sigma )]d\sigma ,}
występujących we wzorach (3) wymaga zastosowania numerycznych metod całkowania . Wymaga to podzielenia przedziału całkowania
(
0
,
s
)
{\displaystyle (0,\,s)}
n
{\displaystyle n}
x
i
,
y
i
,
z
i
{\displaystyle x_{i},\,y_{i},\,z_{i}}
s
i
.
{\displaystyle s_{i}.}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
s
(
t
)
=
s
i
{\displaystyle s(t)=s_{i}}
t
i
(
s
i
)
.
{\displaystyle t_{i}(s_{i}).}
1. Spirala kołowa
0
z
.
{\displaystyle 0z.}
x
(
t
)
=
r
cos
t
,
y
(
t
)
=
r
sin
t
,
z
(
t
)
=
h
r
2
π
t
,
{\displaystyle x(t)=r\cos t,\quad y(t)=r\sin t,\quad z(t)={\tfrac {hr}{2\pi }}t,}
względem osi kartezjańskiego układu współrzędnych
0
x
y
z
.
{\displaystyle 0xyz.}
i
,
j
,
k
.
{\displaystyle \mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} .}
Oś pręta jest linią śrubową , czyli spiralą nawiniętą na walec kołowy o promieniu
r
.
{\displaystyle r.}
Skok spirali wynosi
h
r
.
{\displaystyle hr.}
Siły wyznaczymy jako funkcje zmiennej
s
{\displaystyle s}
s
=
0
{\displaystyle s=0}
(
r
,
0
,
0
)
.
{\displaystyle (r,\,0,\,0).}
Założymy, że pręt jest całkowicie utwierdzony w przekroju o współrzędnej
s
=
r
4
π
2
+
h
2
(
t
=
2
π
)
{\displaystyle s=r{\sqrt {4\pi ^{2}+h^{2}}}\;\;(t=2\pi )}
s
=
0.
{\displaystyle s=0.}
Pręt jest obciążony siłą skupioną
P
=
−
P
k
{\displaystyle \mathbf {P} =-P\mathbf {k} }
s
=
0
{\displaystyle s=0}
ciężarem własnym
q
(
s
)
=
−
q
k
{\displaystyle \mathbf {q} (s)=-q\mathbf {k} }
Wyznaczenie sił przekrojowych dla punktu
s
{\displaystyle s}
współrzędnych Freneta
0
e
1
e
2
e
3
.
{\displaystyle 0\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}.}
0
x
y
z
{\displaystyle 0xyz}
następujące współrzędne
e
1
=
(
−
cos
φ
sin
t
,
cos
φ
cos
t
,
sin
φ
)
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(-\cos \varphi \sin t,\;\cos \varphi \cos t,\;\sin \varphi ),}
e
2
=
(
−
cos
t
,
−
sin
t
,
0
)
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{2}=(-\cos t,\;-\sin t,\;0),}
e
3
=
(
sin
φ
sin
t
,
−
sin
φ
cos
t
,
cos
φ
)
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{3}=(\sin \varphi \sin t,\;-\sin \varphi \cos t,\;\cos \varphi ),}
gdzie
φ
{\displaystyle \varphi }
0
x
y
.
{\displaystyle 0xy.}
Wartości sił w przekroju
S
(
−
)
{\displaystyle S^{(-)}}
s
{\displaystyle s}
P
x
=
0
,
P
y
=
0
,
P
z
=
−
P
−
∫
0
s
q
d
σ
=
−
(
P
+
q
s
)
,
{\displaystyle P_{x}=0,\quad P_{y}=0,\quad P_{z}=-P-\int _{0}^{s}qd\sigma =-(P+qs),}
P
1
=
N
=
P
z
k
e
1
=
−
(
P
+
q
s
)
sin
φ
,
{\displaystyle P_{1}=N=P_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{1}=-(P+qs)\sin \varphi ,}
P
2
=
Q
=
P
z
k
e
2
=
0
,
{\displaystyle P_{2}=Q=P_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{2}=0,}
P
3
=
T
=
P
z
k
e
3
=
−
(
P
+
q
s
)
cos
φ
.
{\displaystyle P_{3}=T=P_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{3}=-(P+qs)\cos \varphi .}
M
x
=
P
y
s
+
∫
0
s
q
y
σ
d
σ
=
P
r
sin
α
s
+
q
r
α
(
1
−
cos
α
s
)
,
{\displaystyle M_{x}=Py_{s}+\int _{0}^{s}qy_{\sigma }d\sigma =Pr\sin \alpha s+{\tfrac {qr}{\alpha }}(1-\cos \alpha s),}
α
=
cos
φ
r
,
α
s
=
t
,
x
s
=
r
cos
α
s
,
y
s
=
r
sin
α
s
,
σ
∈
[
0
,
s
]
,
{\displaystyle \alpha ={\tfrac {\cos \varphi }{r}},\quad \mathbf {\alpha s=t} ,\quad x_{s}=r\cos \alpha s,\quad y_{s}=r\sin \alpha s,\quad \sigma \in [0,s],}
M
y
=
P
(
r
−
x
s
)
+
∫
0
s
q
(
x
σ
−
x
s
)
d
σ
=
P
r
(
1
−
cos
α
s
)
+
{\displaystyle M_{y}=P(r-x_{s})+\int _{0}^{s}q(x_{\sigma }-x_{s})d\sigma =Pr(1-\cos \alpha s)+}
+
q
∫
0
s
x
σ
d
σ
−
q
x
s
∫
0
s
d
σ
=
P
r
(
1
−
cos
α
s
)
+
q
r
α
sin
α
s
−
q
r
s
cos
α
s
,
{\displaystyle {}\qquad +q\int _{0}^{s}x_{\sigma }d\sigma -qx_{s}\int _{0}^{s}d\sigma =Pr(1-\cos \alpha s)+{\tfrac {qr}{\alpha }}\sin \alpha s-qrs\cos \alpha s,}
M
z
=
0
,
{\displaystyle M_{z}=0,}
M
s
=
M
x
i
+
M
y
j
+
M
z
k
=
M
1
e
1
+
M
2
e
2
+
M
3
e
3
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} _{s}&=M_{x}\mathbf {i} +M_{y}\mathbf {j} +M_{z}\mathbf {k} \\[2pt]&=M_{1}\mathbf {e} _{1}+M_{2}\mathbf {e} _{2}+M_{3}\mathbf {e} _{3},\end{aligned}}}
M
1
=
M
s
=
M
x
i
e
1
+
M
y
j
e
1
+
M
z
k
e
1
=
(
−
cos
φ
sin
α
s
)
M
x
+
(
cos
φ
cos
α
s
)
M
y
,
{\displaystyle {\begin{aligned}M_{1}&=M_{s}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{1}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{1}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{1}\\[2pt]&=(-\cos \varphi \sin \alpha s)M_{x}+(\cos \varphi \cos \alpha s)M_{y},\end{aligned}}}
M
2
=
M
n
=
M
x
i
e
2
+
M
y
j
e
2
+
M
z
k
e
2
=
−
cos
α
s
M
x
−
sin
α
s
M
y
,
{\displaystyle {\begin{aligned}M_{2}&=M_{n}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{2}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{2}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{2}\\[2pt]&=-\cos \alpha s\,M_{x}-\sin \alpha s\,M_{y},\end{aligned}}}
M
3
=
M
=
M
x
i
e
3
+
M
y
j
e
3
+
M
z
k
e
3
=
(
sin
φ
sin
α
s
)
M
x
+
(
−
sin
φ
cos
α
s
)
M
y
.
{\displaystyle {\begin{aligned}M_{3}&=M=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{3}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{3}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{3}\\[2pt]&=(\sin \varphi \sin \alpha s)M_{x}+(-\sin \varphi \cos \alpha s)M_{y}.\end{aligned}}}
2. Lewoskrętna spirala kołowa na walcu o osi
0
y
.
{\displaystyle 0y.}
x
(
t
)
=
r
cos
t
,
y
(
t
)
=
h
r
2
π
t
,
z
(
t
)
=
r
sin
t
,
{\displaystyle x(t)=r\cos t,\quad y(t)={\tfrac {hr}{2\pi }}t,\quad z(t)=r\sin t,}
x
˙
(
t
)
=
−
r
sin
t
,
y
˙
(
t
)
=
h
r
2
π
,
z
˙
(
t
)
=
r
cos
t
,
{\displaystyle {\dot {x}}(t)=-r\sin t,\quad {\dot {y}}(t)={\tfrac {hr}{2\pi }},\quad {\dot {z}}(t)=r\cos t,}
d
s
=
x
˙
2
+
y
˙
2
+
z
˙
2
=
r
κ
d
t
,
{\displaystyle ds={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}=r\kappa dt,}
κ
=
1
+
h
2
4
π
2
,
1
κ
=
cos
φ
,
h
2
π
κ
=
sin
φ
,
{\displaystyle \kappa ={\sqrt {1+{\tfrac {h^{2}}{4\pi ^{2}}}}},\quad {\tfrac {1}{\kappa }}=\cos \varphi ,\quad {\tfrac {h}{2\pi \kappa }}=\sin \varphi ,}
gdzie
φ
{\displaystyle \varphi }
0
z
x
,
{\displaystyle 0zx,}
x
′
(
s
)
=
−
cos
φ
sin
t
,
y
′
(
s
)
=
sin
φ
,
cos
φ
cos
t
,
{\displaystyle x^{'}(s)=-\cos \varphi \sin t,\quad y^{'}(s)=\sin \varphi ,\quad \cos \varphi \cos t,}
e
1
=
(
−
cos
φ
sin
t
,
sin
φ
,
cos
φ
cos
t
)
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(-\cos \varphi \sin t,\;\sin \varphi ,\;\cos \varphi \cos t),}
x
″
(
s
)
=
−
1
ρ
cos
t
,
y
″
(
s
)
=
0
,
z
″
(
s
)
=
−
1
ρ
sin
t
,
ρ
=
r
cos
2
φ
,
{\displaystyle x^{''}(s)=-{\tfrac {1}{\rho }}\cos t,\quad y^{''}(s)=0,\quad z^{''}(s)=-{\tfrac {1}{\rho }}\sin t,\quad \rho ={\tfrac {r}{\cos ^{2}\varphi }},}
e
2
=
(
−
cos
t
,
0
,
−
sin
t
)
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{2}=(-\cos t,\;0,\;-\sin t),}
e
3
=
e
1
×
e
2
=
(
−
sin
φ
sin
t
,
−
cos
φ
,
sin
φ
cos
t
)
.
{\displaystyle \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=(-\sin \varphi \sin t,\;-\cos \varphi ,\;\sin \varphi \cos t).}
Obciążeniem pręta jest jego ciężar własny
q
=
−
q
k
.
{\displaystyle \mathbf {q} =-q\mathbf {k} .}
Siły przekrojowe oblicza się z następujących wzorów:
P
s
=
P
x
i
+
P
y
j
+
P
z
k
=
−
∫
0
s
q
k
d
σ
=
−
q
s
k
,
{\displaystyle \mathbf {P} _{s}=P_{x}\mathbf {i} +P_{y}\mathbf {j} +P_{z}\mathbf {k} =-\int _{0}^{s}q\mathbf {k} d\sigma =-qs\mathbf {k} ,}
M
s
=
−
∫
0
s
q
k
×
(
r
σ
−
r
s
)
d
σ
=
−
q
∫
0
s
|
i
j
k
0
0
1
x
σ
−
x
s
y
σ
−
y
s
z
σ
−
z
s
|
d
σ
=
−
q
∫
0
s
[
−
(
y
σ
−
y
s
)
i
+
(
x
σ
−
x
s
)
j
]
d
σ
=
−
q
[
(
−
∫
0
s
y
σ
d
σ
+
∫
0
s
y
s
d
σ
)
i
+
(
∫
0
s
x
σ
d
σ
−
∫
0
s
x
s
d
σ
)
j
]
=
−
q
r
s
[
h
α
s
4
π
i
+
(
1
α
s
sin
α
s
−
cos
α
s
)
j
]
=
M
x
i
+
M
y
j
+
0
k
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} _{s}&=-\int _{0}^{s}q\mathbf {k} \times (\mathbf {r} _{\sigma }-\mathbf {r} _{s})d\sigma =-q\int _{0}^{s}{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\[1ex]0&0&1\\x_{\sigma }-x_{s}&y_{\sigma }-y_{s}&z_{\sigma }-z_{s}\end{vmatrix}}d\sigma \\[1ex]&=-q\int _{0}^{s}\left[-(y_{\sigma }-y_{s})\mathbf {i} +(x_{\sigma }-x_{s})\mathbf {j} \right]d\sigma \\[1ex]&=-q\left[(-\int _{0}^{s}y_{\sigma }d\sigma +\int _{0}^{s}y_{s}d\sigma )\mathbf {i} +(\int _{0}^{s}x_{\sigma }d\sigma -\int _{0}^{s}x_{s}d\sigma )\mathbf {j} \right]\\[1ex]&=-qrs\left[{\tfrac {h\alpha s}{4\pi }}\mathbf {i} +({\tfrac {1}{\alpha s}}\sin \alpha s-\cos \alpha s)\mathbf {j} \right]=M_{x}\mathbf {i} +M_{y}\mathbf {j} +0\mathbf {k} ,\end{aligned}}}
gdzie:
α
=
cos
φ
r
,
α
s
=
t
,
x
s
=
x
(
s
)
=
r
cos
α
s
,
y
s
=
y
(
s
)
=
h
r
2
π
α
s
,
{\displaystyle \alpha ={\tfrac {\cos \varphi }{r}},\quad \mathbf {\alpha s=t} ,\quad x_{s}=x(s)=r\cos \alpha s,\quad y_{s}=y(s)={\tfrac {hr}{2\pi }}\alpha s,}
M
i
=
M
s
e
i
=
M
x
i
e
i
+
M
y
j
e
i
,
i
=
1
,
2
,
3
,
{\displaystyle M_{i}=\mathbf {M} _{s}\mathbf {e} _{i}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{i}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{i},\quad i=1,2,3,}
M
1
=
M
x
(
−
cos
φ
sin
t
)
+
M
y
(
sin
φ
)
,
{\displaystyle M_{1}=M_{x}(-\cos \varphi \sin t)+M_{y}(\sin \varphi ),}
M
2
=
M
x
(
−
cos
t
)
,
{\displaystyle M_{2}=M_{x}(-\cos t),}
M
3
=
M
x
(
−
sin
φ
sin
t
)
+
M
y
(
−
cos
φ
)
.
{\displaystyle M_{3}=M_{x}(-\sin \varphi \sin t)+M_{y}(-\cos \varphi ).}
3. Okrąg na płaszczyźnie o normalnej
b
=
(
0
,
−
sin
α
,
cos
α
)
.
{\displaystyle \mathbf {b} =(0,-\sin \alpha ,\,\cos \alpha ).}
Oś pręta jest opisana parametrycznie
x
(
t
)
=
r
cos
t
,
y
(
t
)
=
r
cos
α
sin
t
,
z
(
t
)
=
r
sin
α
sin
t
{\displaystyle x(t)=r\cos t,\quad y(t)=r\cos \alpha \sin t,\quad z(t)=r\sin \alpha \sin t}
względem układu współrzędnych
0
x
y
z
.
{\displaystyle 0xyz.}
Współrzędne wersorów osi układu Freneta mają współrzędne
e
1
=
(
−
sin
t
,
cos
α
cos
t
,
sin
α
cos
t
)
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(-\sin t,\,\cos \alpha \cos t,\,\sin \alpha \cos t),}
e
2
=
(
−
cos
t
,
−
cos
α
sin
t
,
−
sin
α
sin
t
)
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{2}=(-\cos t,\,-\cos \alpha \sin t,\,-\sin \alpha \sin t),}
e
3
=
e
1
×
e
2
=
(
0
,
−
sin
α
,
cos
α
)
.
{\displaystyle \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=(0,\,-\sin \alpha ,\,\cos \alpha ).}
Pręt jest przecięty w punkcie początkowym o współrzędnej
t
=
0
{\displaystyle t=0}
t
=
2
π
.
{\displaystyle t=2\pi .}
S
(
−
)
{\displaystyle S^{(-)}}
M
=
M
j
.
{\displaystyle \mathbf {M} =M\mathbf {j} .}
Siły przekrojowe mają wartości
P
1
=
P
2
=
P
3
=
0
,
{\displaystyle P_{1}=P_{2}=P_{3}=0,}
M
x
=
0
,
M
y
=
M
,
M
z
=
0
,
{\displaystyle M_{x}=0,\;M_{y}=M,\;M_{z}=0,}
M
s
=
M
x
i
+
M
y
j
+
M
z
k
=
M
1
e
1
+
M
2
e
2
+
M
3
e
3
,
{\displaystyle \mathbf {M} _{s}=M_{x}\mathbf {i} +M_{y}\mathbf {j} +M_{z}\mathbf {k} =M_{1}\mathbf {e} _{1}+M_{2}\mathbf {e} _{2}+M_{3}\mathbf {e} _{3},}
M
1
=
M
x
i
e
1
+
M
y
j
e
1
+
M
z
k
e
1
=
M
cos
α
cos
t
,
{\displaystyle M_{1}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{1}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{1}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{1}=M\cos \alpha \cos t,}
M
2
=
M
x
i
e
2
+
M
y
j
e
2
+
M
z
k
e
2
=
−
M
cos
α
sin
t
,
{\displaystyle M_{2}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{2}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{2}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{2}=-M\cos \alpha \sin t,}
M
3
=
M
x
i
e
3
+
M
y
j
e
3
+
M
z
k
e
3
=
−
M
sin
α
.
{\displaystyle M_{3}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{3}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{3}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{3}=-M\sin \alpha .}
↑ a b c G. Rakowski, R, Solecki, Pręty zakrzywione – obliczenia statyczne , Arkady, Warszawa 1965.
↑ G. Kirchhoff, Vorlesungen über mathematische Physik , t. I, Mechanik.
↑ F. Leja, Geometria analityczna , PWN, Warszawa 1954.
↑ В.И. Смирнов, Күрс высшей математиқи , Гос. Издат. техниĸо-теоретической литературы, Москва-Ленинград 1951.
↑ И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике , стр. 359, Гос. Издат. Тех-теор. литературы, Москва 1954.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{s}^{'}&=P_{1}^{'}\mathbf {e} _{1}+P_{2}^{'}\mathbf {e} _{2}+P_{3}^{'}\mathbf {e} _{3}+P_{1}\mathbf {e} _{1}^{'}+P_{2}\mathbf {e} _{2}^{'}+P_{3}\mathbf {e} _{3}^{'}\\[2pt]&=P_{1}^{'}\mathbf {e} _{1}+P_{2}^{'}\mathbf {e} _{2}+P_{3}^{'}\mathbf {e} _{3}+P_{1}(\kappa \mathbf {e} _{2})+P_{2}(-\kappa \mathbf {e} _{1}-\tau \mathbf {e} _{3})+P_{3}(\tau \mathbf {e} _{2})\\[2pt]&=(P_{1}^{'}-\kappa P_{2})\mathbf {e} _{1}+(P_{2}^{'}+\kappa P_{1}+\tau P_{3})\mathbf {e} _{2}+(P_{3}^{'}-\tau P_{2})\mathbf {e} _{3},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47a3bd8c84da4d661d0887119c03bcc4ac40be24)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\\[1px]\mathbf {M} _{s}^{'}&=M_{1}^{'}\mathbf {e} _{1}+M_{2}^{'}\mathbf {e} _{2}+M_{3}^{'}\mathbf {e} _{3}+M_{1}\mathbf {e} _{1}^{'}+M_{2}\mathbf {e} _{2}^{'}+M_{3}\mathbf {e} _{3}^{'}\\[2pt]&=M_{1}^{'}\mathbf {e} _{1}+M_{2}^{'}\mathbf {e} _{2}+M_{3}^{'}\mathbf {e} _{3}+M_{1}(\kappa \mathbf {e} _{2})+M_{2}(-\kappa \mathbf {e} _{1}-\tau \mathbf {e} _{3})+M_{3}(\tau \mathbf {e} _{2})\\[2pt]&=(M_{1}^{'}-\kappa M_{2})\mathbf {e} _{1}+(M_{2}^{'}+\kappa M_{1}+\tau M_{3})\mathbf {e} _{2}+(M_{3}^{'}-\tau M_{2})\mathbf {e} _{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24e51a2d5390d1eab5ecff15abdde71dc95dd68a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} _{s}^{'}&=\mathbf {m} (s)-P_{2}\mathbf {e} _{3}+P_{3}\mathbf {e} _{2}\\[2pt]&=m_{1}\mathbf {e} _{1}+m_{2}\mathbf {e} _{2}+m_{3}\mathbf {e} _{3}-P_{2}\mathbf {e} _{3}+P_{3}\mathbf {e} _{2}\\[2pt]&=m_{1}\mathbf {e} _{1}+(m_{2}+P_{3})\mathbf {e} _{2}+(m_{3}-P_{2})\mathbf {e} _{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685ced2309d78e233c488813f281e4b7ca4a437d)
![{\displaystyle \mathbf {F} _{s}=[\mathbf {P} _{s},\mathbf {M} _{s}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a427e77b07c0aff9ef17a9c69bb1fb3510035dd7)
![{\displaystyle \mathbf {F} _{s}+d\mathbf {F} _{s}=[\mathbf {P} _{s}+d\mathbf {P} _{s},\;\mathbf {M} _{s}+d\mathbf {M} _{s}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf9307429d2a53e0cfff8e8a833ea659192878c)
![{\displaystyle \int _{0}^{s}\!\!x_{\sigma }d\sigma =\int _{0}^{s}\!\!x[t(\sigma )]d\sigma ,\quad \int _{0}^{s}\!\!y_{\sigma }d\sigma =\int _{0}^{s}\!\!y[t(\sigma )]d\sigma ,\quad \int _{0}^{s}\!\!z_{\sigma }d\sigma =\int _{0}^{s}\!\!z[t(\sigma )]d\sigma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46f64f3fabb71f99cba4616b53eb43482900f67b)
![{\displaystyle \alpha ={\tfrac {\cos \varphi }{r}},\quad \mathbf {\alpha s=t} ,\quad x_{s}=r\cos \alpha s,\quad y_{s}=r\sin \alpha s,\quad \sigma \in [0,s],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b33edbfde93d82f7bab4703d0236497186595f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} _{s}&=M_{x}\mathbf {i} +M_{y}\mathbf {j} +M_{z}\mathbf {k} \\[2pt]&=M_{1}\mathbf {e} _{1}+M_{2}\mathbf {e} _{2}+M_{3}\mathbf {e} _{3},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e01a77194c9889cb2755f1a3b157fe73c8f23f4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}M_{1}&=M_{s}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{1}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{1}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{1}\\[2pt]&=(-\cos \varphi \sin \alpha s)M_{x}+(\cos \varphi \cos \alpha s)M_{y},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9cc10274b56250c356f010549196085127b29c3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}M_{2}&=M_{n}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{2}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{2}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{2}\\[2pt]&=-\cos \alpha s\,M_{x}-\sin \alpha s\,M_{y},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/810cee26a3785266738a76d4b57b86f5adf6e0eb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}M_{3}&=M=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{3}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{3}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{3}\\[2pt]&=(\sin \varphi \sin \alpha s)M_{x}+(-\sin \varphi \cos \alpha s)M_{y}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b2b8a134556fd0dd2b00e94f4257d580b1190d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} _{s}&=-\int _{0}^{s}q\mathbf {k} \times (\mathbf {r} _{\sigma }-\mathbf {r} _{s})d\sigma =-q\int _{0}^{s}{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\[1ex]0&0&1\\x_{\sigma }-x_{s}&y_{\sigma }-y_{s}&z_{\sigma }-z_{s}\end{vmatrix}}d\sigma \\[1ex]&=-q\int _{0}^{s}\left[-(y_{\sigma }-y_{s})\mathbf {i} +(x_{\sigma }-x_{s})\mathbf {j} \right]d\sigma \\[1ex]&=-q\left[(-\int _{0}^{s}y_{\sigma }d\sigma +\int _{0}^{s}y_{s}d\sigma )\mathbf {i} +(\int _{0}^{s}x_{\sigma }d\sigma -\int _{0}^{s}x_{s}d\sigma )\mathbf {j} \right]\\[1ex]&=-qrs\left[{\tfrac {h\alpha s}{4\pi }}\mathbf {i} +({\tfrac {1}{\alpha s}}\sin \alpha s-\cos \alpha s)\mathbf {j} \right]=M_{x}\mathbf {i} +M_{y}\mathbf {j} +0\mathbf {k} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/471c6dfe3fbe0e3af0921abfd5d875d8badd4e17)
