Szereg harmoniczny: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Ciąg liczb harmonicznych: jest -> jego Znaczniki: Wycofane VisualEditor |
|||
Linia 8:
nazywają się [[liczby harmoniczne|liczbami harmonicznymi]].
Nazwa szeregu pochodzi stąd, że każdy wyraz szeregu od drugiego począwszy jest [[średnia harmoniczna|średnią harmoniczną]] dwóch wyrazów bezpośrednio z nim sąsiadujących<ref name="ES">{{Cytuj |tytuł = Matematyka |data = 1990 |isbn = 83-02-02551-8 |miejsce = Warszawa |wydawca = Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne |s = 277 |seria = Encyklopedia szkolna}}</ref>:
: <math>\operatorname{H}\left(\frac{1}{n-1},\frac{1}{n+1}\right)=\frac{2}{\left(\frac{1}{n-1}\right)^{-1}+\left(\frac{1}{n-1}\right)^{-1}} = \frac{2}{(n-1)+(n+1)}= \frac{1}{n}.</math>
Linia 78:
== Ciąg liczb harmonicznych ==
Ciąg [[liczby harmoniczne|liczb harmonicznych]] <math>(H_n)</math> jest rozbieżny do <math>\infty,</math> ale rośnie powoli a
: <math>\lim_{n \to \infty} (\ H_n - \ln(n)\ ) = \gamma,</math>
Linia 97:
== Szeregi harmoniczne wyższych rzędów ==
'''Szeregiem harmonicznym rzędu α''' nazywa się szereg postaci:
: <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^\alpha}=1+\frac{1}{2^\alpha}+\frac{1}{3^\alpha}+\frac{1}{4^\alpha}+\dots</math><ref name="ES">{{Cytuj |tytuł = Matematyka |data = 1990 |isbn = 83-02-02551-8 |miejsce = Warszawa |wydawca = Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne |s = 277 |seria = Encyklopedia szkolna}}</ref>
Szereg ten jest [[zbieżność|zbieżny]] dla <math>\alpha > 1</math>{{odn|Fichtenholz|1966|s=227}} i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Jeżeli dopuści się, by <math>\alpha</math> przyjmowało wartości [[liczby zespolone|zespolone]] i każdej liczbie <math>\alpha,</math> dla której szereg jest zbieżny, przypisze się jego sumę, to tak utworzona funkcja nosi nazwę funkcji '''[[Funkcja dzeta Riemanna|dzeta]]''' <math>\zeta</math> [[Bernhard Riemann|Riemanna]]:
| |||