Oktawy Cayleya: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m MalarzBOT: {{DoPracowania}} przeniesiono do {{Dopracować}} + WP:SK |
Dodano obrazek wyjaśniający mnożenie oktonionów (fano plane). Dodano wzory wyjaśniające działania na oktonionach oraz uzupełniono informacje o Oktawie |
||
Linia 4:
Oktawy stanowią trzecią z kolei po [[liczby zespolone|liczbach zespolonych]] i [[kwaterniony|kwaternionach]] algebrę powstałą przez zastosowanie [[Konstrukcja_Cayleya-Dickensa|konstrukcji Cayleya-Dickensa]] do [[Liczby_rzeczywiste|liczb rzeczywistych]].
Oktawy są algebrą 8-wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem liczb rzeczywistych. Z tego też powodu mogą być traktowane jako ośmiowyrazowe ciągi liczb rzeczywistych. Oktawa jest kombinacją liniową 8 jednostek urojonych stanowiących bazę standardową przestrzeni: 1, ''e''<sub>1</sub>, ''e''<sub>2</sub>, ''e''<sub>3</sub>, ''e''<sub>4</sub>, ''e''<sub>5</sub>, ''e''<sub>6</sub> i ''e''<sub>7</sub>. Gdzie ''e''<sub>1</sub>...''e''<sub>7</sub> to pierwiastki kwadratowe z -1. Działanie dodawania na oktawach jest równoważne dodawaniem wektorów 8-wymiarowej przestrzeni, natomiast działanie mnożenia definiuje poniższa tabela:
<table border cellspacing="0" cellpadding="5" bgcolor="#DDEEFF" >
Linia 98:
<td align="center">-1
</table>
Kolejność w mnożeniu to wiersze (e<sub>i</sub>) - kolumny (e<sub>j</sub>). Stąd też:
: <math>e_i e_j = - e_j e_i = -e_k \,</math>
: <math>e_i e_j = e_k \rightarrow e_{i+1} e_{j+1} = e_{k+1} \,</math>
: <math>e_{2i} e_{2j} = e_{2k} \,</math>
[[Grafika:Fanoqc7.gif]]
Obrazek przedstawia metodę mnożenia oktonionów. Porównując z tabelką u góry można łatwo ją pojąć i zapamiętać.
Oktawy stanowią jedyną algebrę skończonego wymiaru nad ciałem liczb rzeczywistych z wykonalnym dzieleniem, w której mnożenie nie jest łączne, ale jest łączne w algebrze tworzonej przez każde dwa z jej elementów.
| |||