Grupa wolna: Różnice pomiędzy wersjami

'''Grupa wolna''' – [[grupa (matematyka)|grupa]] zawierająca [[podzbiór]] takio tej własności, że istniejekażdy dokładnieelement jednogrupy przedstawieniedaje każdegosię z elementów grupyjednoznacznie zaprzedstawić pomocąjako [[grupa multiplikatywna|iloczynuiloczyn]] [[zbiór skończony|skończenie wielu]] elementów tego podzbioru oraz ich [[element odwrotny|odwrotności]] (za wyłączeniem trywialnych wariantów takich jak <math>st^{-1} = su^{-1}ut^{-1}</math>, gdzie <math>s, t, u</math> należą do takiego podzbioru).

GrupęRównoważnie pojęcie grupy wolnej można zdefiniować następująco: grupę <math>F</math> nazywamy '''wolną''', gdy zawiera podzbiór <math>X \subseteq F\,</math> taki, że każde [[funkcja (matematyka)|przekształcenie]] <math>X\,</math> w dowolną grupę <math>G\,</math> można przedłużyć jednoznacznie do [[homomorfizm]]u <math>f\colon F \to G\,</math>.

Można udowodnić, że każdy taki zbiór <math>X\,</math> musi być układem generatorów grupy <math>F\,</math>, tzn. nie ma [[podgrupa|podgrupy]] <math>F' \subseteq F\,</math>

spełniącej <math>X \subseteq F'\,</math> i <math>F' \ne F\,</math>.

UkładUkładem <math>X</math>generatorów spełniającygrupy powyższąjest własnośćopisany nazywawyżej się '''układem wolnych generatorów''' (niekiedy '''bazą grupy''') grupyzbiór <math>FX\,</math>. (każdeKażde dwa sąukłady zegeneratorów sobąsą [[moc zbioru|równoliczne]]) – moc dowolnego z nich nazywa się '''rangą grupy wolnej'''.

* Każda grupa <math>G\,</math> jest [[obraz (matematyka)|obrazem]] ustalonego homomorfizmu <math>h\,</math> pewnej grupy wolnej <math>F\,</math>.

*: Jeżeli <math>H = \ker h\,</math>, to obrazyobraz układu wolnych generatorów grupy <math>F\,</math> tworzątworzy układ generatorów grupy <math>G\,</math>.

*: '''Układem relacji''' dla tych generatorów nazywamy [[układ równań]] taki, że <math>f(k) = e\,</math>, gdzie <math>k \in H\,</math> są generatorami <math>H\,</math> (przez <math>e\,</math> oznaczamyoznacza [[element neutralny]] grupy). Wskazanie układu generatorów i układu relacji jednoznacznie wyznacza grupę <math>G\,</math>.

* Grupa wolna o randzerangi większej niż jeden nie jest [[grupa przemienna|grupą przemiennąabelowa]].

*Grupa liczb całkowitych z dodawaniem jest jest grupą wolną rangi 1. jejJej układem wolnych generatorów jest {1} (lub {-1}).

* Rozpatrzmy wszystkie skończone napisy składające się z liter <math>l, p, L, P \,</math> w których nie występują pary <math>[l, p], [p, l], [L. P], [P,L]\;.</math> Działaniem niech będzie [[konkatenacja]] napisów z ewentualnym usunięciem zakazanych par czyli np.: