Stała Erdősa-Borweina – suma szeregu złożonego z odwrotności liczb Mersenne’a. Nazwana tak na cześć matematyków Paula Erdősa i Petera Borweina.
Z definicji
![{\displaystyle E_{B}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}\approx 1{,}60669\ 51524\ 15291\ 763\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb378a3f5f6269287a00b6bc343e1c10479fb6f8)
Można pokazać, że następujące określenia są równoważne z powyższą definicją:
![{\displaystyle E_{B}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}{\frac {2^{n}+1}{2^{n}-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e953d5f784767c4a3a39c6589e965c922361368f)
![{\displaystyle E_{B}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{mn}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e0d3d0da25f8e2a016c0f1830a06a31c466f23f)
![{\displaystyle E_{B}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}(2^{n}-1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e7028093d489d0b9acddc489bd62acbee5aab9)
![{\displaystyle E_{B}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{0}(n)}{2^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec66892ea275b48ee2e535733497ba37957f53c0)
gdzie
jest funkcją, przypisującą liczbie n liczbę jej dodatnich podzielników. Aby dowieść równoważność powyższych sum, wystarczy zauważyć, że można je zapisać w postaci szeregu Lamberta.
W roku 1948 Paul Erdős pokazał, że liczba
jest niewymierna.