Teoria plastycznego płynięcia

Teoria płynięcia plastycznego – aktualnie najpowszechniej używany sposób opisu materiałów wykazujących cechy plastyczne.

Teorię płynięcia plastycznego formułuje się nie w odkształceniach, a w prędkościach odkształceń. Jednak, ponieważ zachowanie plastyczne jest uważane za niezależne od czasu rzeczywistego więc czas w plastyczności jest pseudoczasem, czyli dowolną monotoniczną funkcją. Prędkości odkształceń rozumiane są jako pochodne nie względem czasu rzeczywistego, ale pseudoczasu.

Powierzchnia plastyczności

Powierzchnia plastyczności jest geometrycznym przedstawieniem równania opisującego kryterium uplastycznienia. Warunek plastyczności jest warunkiem zależnym od stanu naprężenia

$F(\sigma _{ij})=0,$

więc powierzchnia plastyczności jest hiperpowierzchnią w przestrzeni sześciu naprężeń. Takiej powierzchni nie można narysować, natomiast możemy rysować jej przekroje, rzuty bądź przypadki szczególne.

Interpretacja powierzchni plastyczności mówi, że punkt reprezentujący stan naprężenia może być wewnątrz powierzchni $(F(\sigma _{ij})<0)$ i wtedy materiał jest w stanie sprężystym, bądź na powierzchni $F(\sigma _{ij})=0$ a wtedy może wystąpić proces plastyczny. Punkt reprezentujący stan naprężenia nie może wyjść poza powierzchnię, więc równanie powierzchni plastyczności może być jednocześnie traktowane jako ograniczenie dla stanu naprężenia.

W przypadku plastyczności idealnej powierzchnia jest stała. W przypadku materiału ze wzmocnieniem (bądź osłabieniem) równanie powierzchni musi zawierać opis jej ewolucji co geometrycznie odpowiada rozszerzaniu się, przesuwaniu lub kurczeniu powierzchni.

Równanie płynięcia

Rozkład tensora prędkości odkształcenia na część sprężystą i plastyczną

${\dot {\epsilon }}_{ij}={\dot {\epsilon }}_{ij}^{e}+{\dot {\epsilon }}_{ij}^{pl}.$

Materiał idealnie sprężysto-plastyczny HMH

Dla tego materiału kryterium uplastycznienia jest funkcją jedynie dewiatora naprężenia, więc zachowanie aksjatorów naprężenia i odkształcenia opisuje prawo Hooke’a. Warunek plastyczności może być zapisany:

$F(\sigma _{ij})=s_{ij}\;s_{ij}-{\frac {2}{3}}\sigma _{y}^{2}=0.$

Zachowania plastyczne są formułowane dla dewiatora naprężenia $s_{ij}$ oraz dewiatora (prędkości) odkształcenia ${\dot {e}}_{ij}.$

Najprostsze równanie płynięcia ma postać:

${\dot {e}}_{ij}^{pl}=\lambda s_{ij},$

co oznacza, że każda składowa tensora prędkości odkształceń plastycznych jest proporcjonalna do odpowiedniej składowej dewiatora tensora naprężenia. Sama wartość $\lambda$ może być uważana za mnożnik Lagrange’a wynikły z narzucenia ograniczeń na stan naprężenia.

Równanie to obowiązuje tylko dla stanów naprężenia będących na powierzchni plastyczności $F(\sigma _{ij})=0.$

Część sprężysta ma postać:

${\dot {e}}_{ij}^{e}={\frac {1}{2\mu }}\;{\dot {s}}_{ij},$

gdzie $\mu$ jest jedną ze stałych Lamégo równą modułowi Kirchhoffa.

Całkowita wartość prędkości odkształcenia wynosi zatem:

${\dot {e}}_{ij}={\frac {1}{2\mu }}\;{\dot {s}}_{ij}+\lambda s_{ij}.$

Mnożąc obie strony równania przez $s_{ij},$ otrzymujemy:

$s_{ij}{\dot {e}}_{ij}={\frac {1}{2\mu }}\;s_{ij}{\dot {s}}_{ij}+\lambda s_{ij}s_{ij}.$

Ponieważ ${\dot {F}}=0$ to $s_{ij}{\dot {s}}_{ij}=0,$ więc dysponując warunkiem plastyczności można wyznaczyć $\lambda$ jako funkcję ${\dot {e}}_{ij}.$

Stowarzyszone prawo płynięcia

Bardziej ogólnym przypadkiem jest prawo płynięcia postaci:

${\dot {\epsilon }}_{ij}^{pl}=\lambda {\frac {\partial F}{\partial \sigma _{ij}}},$

gdzie $F$ jest równaniem powierzchni plastyczności.

Można łatwo wykazać, że HMH jest przypadkiem szczególnym stowarzyszonego prawa płynięcia.

Niestowarzyszone prawo płynięcia

Definiuje się drugą powierzchnię $G(\sigma _{ij})=0$ w sposób analogiczny do powierzchni plastyczności. Osiągnięcie stanu plastycznego jest określane poprzez warunek $F(\sigma _{ij})=0$ natomiast równanie płynięcia jest opisane przez

${\dot {\epsilon }}_{ij}^{pl}=\lambda {\frac {\partial G}{\partial \sigma _{ij}}},$

czyli kierunek prostopadły do powierzchni $G(\sigma _{ij}).$

W efekcie kierunek płynięcia plastycznego ${\dot {\epsilon }}_{ij}^{pl}$ na ogół nie jest prostopadły do powierzchni $F(\sigma _{ij}).$

Bibliografia

• Jacek Skrzypek: Plastyczność i pełzanie. Teoria, zastosowania, zadania. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986. ISBN 83-01-06220-7.brak strony w książce
• Zdzisław Gabryszewski: Teoria sprężystości i plastyczności. Wrocław: Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, 2001. ISBN 83-7085-534-2.brak strony w książce
• Tadeusz Bednarski: Mechanika plastycznego płynięcia w zarysie. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1995. ISBN 83-01-11777-X.brak strony w książce