Trójkąt potrójnie asymptotyczny

Trójkąt potrójnie asymptotyczny – figura utworzona z trzech prostych, z których każde dwie są równoległe do siebie w pewnym kierunku^[1].

Konstrukcja trójkąta potrójnie asymptotycznego

Można udowodnić, że:

Każda para promieni nierównoległych ma jedną wspólną prostą równoległą^[2]^[3].

Wykorzystując to twierdzenie, można skonstruować trójkąt potrójnie asymptotyczny na co najmniej dwa sposoby.

Sposób 1

Niech $AB$ i $CD$ będą promieniami równoległymi o początkach odpowiednio $A$ i $C.$ Wtedy promienie uzupełniające $A/B$ i $C/D$ ^[4] są nierównoległe, bo odległość między ich punktami rośnie. Dlatego istnieje prosta $p$ równoległa zarówno do $A/B,$ jak i do $C/D.$ Dlatego proste $AB,$ $CD$ i $p$ są parami równoległe, czyli tworzą trójkąt potrójnie asymptotyczny.

Konstrukcja Gaussa trójkąta potrójnie asymptotycznego

Sposób 2 (Gaussa)^[5]

Niech $A,$ $B$ i $C$ będą trzema punktami płaszczyzny hiperbolicznej. Wtedy $ABC$ jest trójkątem (skończonym). Promienie $A/B,$ $C/A$ i $B/C$ są parami nierównoległe, bo proste $AB,$ $CA$ i $BC$ są nierównoległe. Jeśli:

prosta $p$ jest wspólną prostą równoległą do promieni $A/B$ i $C/A,$
prosta $q$ jest wspólną prostą równoległą do promieni $C/A$ i $B/C,$
prosta $r$ jest wspólną prostą równoległą do promieni $B/C$ i $A/B,$

to proste $p,$ $q$ i $r$ tworzą trójkąt potrójnie asymptotyczny.

Własności

Każde dwa trójkąty potrójnie asymptotyczne są przystające.
Każdy trójkąt potrójnie asymptotyczny ma pole skończone^[6].
Z twierdzenia Bolyai wynika, że wszystkie kąty trójkąta potrójnie asymptotycznego są kątami zerowymi.
Z twierdzenia Gaussa wynika, że pole $\Delta$ dowolnego trójkąta $ABC$ o skończonych bokach jest stałą wielokrotnością defektu trójkąta

\Delta =\mu (\pi -\measuredangle A-\measuredangle B-\measuredangle C).

Wtedy pole każdego trójkąta potrójnie asymptotycznego jest równe

\Delta =\mu \cdot \pi .

Punkty styczności okręgu wpisanego w trójkąt potrójnie asymptotyczny są wierzchołkami trójkąta równobocznego o boku

d=4\ln \varphi \approx 1{,}925,

gdzie $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ jest złotym stosunkiem^[7]

Zastosowania w grafice

Parkietaż złożony z trójkątów potrójnie asymptotycznych

Parkietaż złożony z trójkątów potrójnie asymptotycznych o grupie symetrii trójkąta równobocznego

Podobnie jak trójkąty asymptotyczne i trójkąty podwójnie asymptotyczne trójkąty potrójnie asymptotyczne można wykorzystywać w grafice do tworzenia parkietaży koła.

Przypisy

↑ Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 316.
↑ Carslaw H.S.: The Elements of Non-euclidean Plane Geometry and Trigonometry. London: 1916, s. 76.
↑ Coxeter, op. cit., s. 315.
↑ Promieniem uzupełniającym do promienia $AB$ nazywamy zbiór punktów prostej $AB$ leżących po przeciwnej stronie punktu $A$ niż punkt $B.$
↑ Coxeter, op. cit., s. 320.
↑ Coxeter, op. cit., s. 318.
↑ Isogonalité et autres dans le modèle de Klein Beltrami. cabri.net. [dostęp 2011-12-11]. (fr.).

Bibliografia

Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
Carslaw H.S.: The Elements of Non-euclidean Plane Geometry and Trigonometry. London: 1916.

[1] Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 316.

[2] Carslaw H.S.: The Elements of Non-euclidean Plane Geometry and Trigonometry. London: 1916, s. 76.

[3] Coxeter, op. cit., s. 315.

[4] Promieniem uzupełniającym do promienia $AB$ nazywamy zbiór punktów prostej $AB$ leżących po przeciwnej stronie punktu $A$ niż punkt $B.$

[5] Coxeter, op. cit., s. 320.

[6] Coxeter, op. cit., s. 318.

[7] Isogonalité et autres dans le modèle de Klein Beltrami. cabri.net. [dostęp 2011-12-11]. (fr.).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]