Defekt trójkąta

Defekt trójkąta – różnica między kątem półpełnym a sumą kątów trójkąta. Dla trójkąta $\Delta$ sumę jego kątów oznaczamy przez $S(\Delta ),$ a defekt przez $D(\Delta ).$ Wtedy

$D(\Delta )=\pi -S(\Delta ).$

W geometrii absolutnej defekt trójkąta jest nie mniejszy od zera. Udowodnił to Adrien Legendre w 1794 roku. Wykazał on, że:

1. Jeśli suma kątów każdego trójkąta jest równa kątowi półpełnemu, to ma miejsce aksjomat Euklidesa.
2. W każdym trójkącie $S(\Delta )\leqslant \pi .$
3. Jeśli suma kątów choć jednego trójkąta jest równa kątowi półpełnemu, to suma kątów każdego trójkąta jest równa kątowi półpełnemu. Oznacza to, że ma wtedy miejsce aksjomat Euklidesa, a defekt każdego trójkąta jest wtedy równy zero.

Z powyższych faktów wynika, że albo defekt każdego trójkąta jest równy zero i geometria jest geometrią euklidesową, albo defekt choć jednego trójkąta jest większy od zera i wtedy defekt każdego trójkąta jest większy od zera, a geometria jest geometrią hiperboliczną.

Własności defektu

• Jeżeli trójkąt ${\mathcal {T}}_{1}$ jest zawarty w trójkącie ${\mathcal {T}}_{2},$ to $\Delta ({\mathcal {T}}_{1})<\Delta ({\mathcal {T}}_{2}).$
• Pojęcie defektu można rozszerzyć na dowolne wielokąty. Defekt wielokąta jest wtedy sumą defektów trójkątów dowolnej jego triangulacji. Można wykazać, że defekt wielokąta nie zależy od jego triangulacji. Jeżeli wielokąt ${\mathcal {W}}_{1}$ jest zawarty w wielokącie ${\mathcal {W}}_{2},$ to $\Delta ({\mathcal {W}}_{1})<\Delta ({\mathcal {W}}_{2}).$

Twierdzenie Gaussa

Carl Friedrich Gauss udowodnił w 1832 roku, że:

W geometrii hiperbolicznej pole trójkąta jest proporcjonalne do jego defektu.

Schemat dowodu twierdzenia Gaussa

Schemat został zamieszczony w książce H.S.M. Coxetera.

1. Wszystkie trójkąty potrójnie asymptotyczne są przystające.

2. Pole trójkąta potrójnie asymptotycznego ma wartość skończoną $t.$

3. Pole podwójnie asymptotycznego trójkąta AMN jest funkcją jego jedynego kąta niezerowego NAM. Jeśli $\varphi$ jest kątem przyległym do kąta NAM, to pole tego trójkąta jest równe $f(\varphi ).$ Gauss użył kąta przyległego, aby funkcja ta była rosnąca.

4. $f(\varphi )+f(\pi -\varphi )=t.$

Po zsunięciu dwóch trójkątów podwójnie asymptotycznych LAN i MAN o kątach $\varphi$ i $\pi -\varphi ,$ tak aby oba te kąty były przyległe otrzymujemy trójkąt potrójnie asymptotyczny. Stąd równość 4.

Gdy $\varphi$ dąży do zera jeden z tych trójkątów zanika, a gdy dąży do $\pi ,$ przyjmuje kształt trójkąta potrójnie asymptotycznego. Dlatego

$f(0)=0,f(\pi )=t.$

5. $f(\varphi )+f(\psi )+f(\pi -\varphi -\psi )=t.$

Jeśli $\varphi \geqslant 0,\psi \geqslant 0,\pi \geqslant \varphi +\psi ,$ to po zsunięciu trzech trójkątów podwójnie asymptotycznych o kątach $\pi -\varphi ,\pi -\psi ,\varphi +\psi$ otrzymujemy trójkąt potrójnie asymptotyczny. Stąd równość 5.

Z równości 5. wynika

6. $f(\varphi )+f(\psi )=f(\varphi +\psi ).$

Z 6. wynika, że istnieje taka stała $\mu ,$ że:

$f(\varphi )=\mu \cdot \varphi ,$

gdzie stała $\mu$ jest równa ${\frac {t}{\pi }}.$

Uzupełnienie skończonego trójkąta ABC do trójkąta potrójnie asymptotycznego

7. Pole $\Delta$ dowolnego trójkąta ABC o skończonych bokach jest stałą wielokrotnością jego defektu:

$\Delta =\mu \cdot (\pi -A-B-C).$

Trójkąt o skończonych bokach można uzupełnić do trójkąta potrójnie asymptotycznego, przedłużając jego boki w porządku cyklicznym. Trójkąt potrójnie asymptotyczny jest wtedy sumą trójkąta skończonego ABC i trzech trójkątów podwójnie asymptotycznych:

$M_{\infty }AN_{\infty },\,N_{\infty }BL_{\infty },\,L_{\infty }CM_{\infty }$

o defektach odpowiednio równych kątom $A,$ $B$ i $C.$ Trójkąt potrójnie asymptotyczny ma defekt $\pi ,$ czyli

$\Delta +\mu A+\mu B+\mu C=\mu \pi ,$

co oznacza, że

$\Delta =\mu \cdot (\pi -A-B-C).$

Zobacz też

• czworokąt Saccheriego
• kąt równoległości
• model Poincarégo
• prosta pochyła
• prosta zagradzająca kąt
• proste nadrównoległe
• punkt w nieskończoności w geometrii hiperbolicznej
• równoległość w geometrii hiperbolicznej
• trójkąt asymptotyczny
• trójkąt podwójnie asymptotyczny
• trójkąt potrójnie asymptotyczny

Bibliografia

• H.S.M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.brak strony w książce
• Н.В. Ефимов: Высшая Геометрия. Москва: Наука, 1978.brak strony w książce