Twierdzenie Blichfeldta

Twierdzenie Blichfeldta – twierdzenie geometrii kombinatorycznej opublikowane w 1914 przez duńskiego matematyka, Hansa Fredericka Blichfeldta, które jest rozszerzeniem twierdzenia Minkowskiego o punktach kratowych; w szczególności twierdzenie Minkowskiego daje się wyprowadzić z twierdzenia Blichfeldta.

Twierdzenie

Niech $f_{1},\dots ,f_{d}$ będzie bazą w $\mathbb {R} ^{d}$ oraz niech

$\Gamma =\mathbb {Z} f_{1}+\ldots +\mathbb {Z} f_{d}$

będzie kratą generowaną przez $f_{1},\dots ,f_{d}.$ Jeżeli $A$ jest takim zbiorem mierzalnym w $\mathbb {R} ^{d},$ że

$\mathrm {vol} _{d}(A)>\mathrm {vol} _{d}(G_{\Gamma }),$

gdzie $\mathrm {vol} _{d}(G_{\Gamma })$ oznacza $d$-wymiarową miarę Lebesgue’a (objętość) równoległościanu generowanego przez wektory $f_{1},\dots ,f_{d},$ to istnieją takie dwa różne punkty $a,b\in A,$ że

$a-b\in \Gamma .$

Bibliografia

• Juliusz Wójcik, O zastosowaniu geometrii liczb do przedstawień liczb naturalnych przez sumy kwadratów, „Wiadomości Matematyczne”, 10 (1975), s. 19–31.

Literatura dodatkowa

• C.D. Olds, Anneli Lax, Giuliana Davidoff, Giuliana P. Davidoff, The Geometry of Numbers, Cambridge University Press, 2000.