Twierdzenie Eltona-Odella

Twierdzenie Eltona-Odella – twierdzenie udowodnione w 1981 roku przez Johna Eltona i Edwarda Odella^[1], które mówi, że dla każdej nieskończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej istnieje taka liczba $\varepsilon >0$ oraz ciąg $(x_{n})$ elementów tej przestrzeni o normie 1, że dla różnych liczb naturalnych $n,m$ spełniony jest warunek

\|x_{n}-x_{m}\|>1+\varepsilon .

Wynik ten był twierdzącą odpowiedzią na pytanie postawione przez Kottmana^[2] (sam Kottman udowodnił to twierdzenie w przypadku $\varepsilon =0$ ).

Wzmocnienie twierdzenia Eltona-Odella w klasie przestrzeni nierefleksywnych

Kryczka i Prus wzmocnili tezę twierdzenia Eltona-Odella gdy $X$ jest przestrzenią nierefleksywną^[3]. Pokazali oni, że istnieje wówczas ciąg $(x_{n})$ elementów tej przestrzeni o normie 1, że dla różnych liczb naturalnych $n,m$ spełniony jest warunek

\|x_{n}-x_{m}\|\geqslant {\sqrt[{5}]{4}}.

Przypisy

↑ J. Elton, E. Odell, The unit ball of every infinite-dimensional normed linear space contains a (1+ε)-separated sequence, „Colloquium Mathematicum”, XLIV, 1981, s. 105–109.
↑ C. Kottman, Subsets of the unit ball that are separated by more than one, „Studia Mathematica” 53, 1975, s. 15–27.
↑ Andrzej Kryczka, Stanisław Prus, Separated sequences in nonreflexive Banach spaces, „Proc. Amer. Math. Soc.” 129 (2000), s. 155–163.

Bibliografia

Joseph Diestel, Sequences and series in Banach spaces, Springer-Verlag, New York, 1984. (Chapter XIV, 241).

[1] J. Elton, E. Odell, The unit ball of every infinite-dimensional normed linear space contains a (1+ε)-separated sequence, „Colloquium Mathematicum”, XLIV, 1981, s. 105–109.

[2] C. Kottman, Subsets of the unit ball that are separated by more than one, „Studia Mathematica” 53, 1975, s. 15–27.

[3] Andrzej Kryczka, Stanisław Prus, Separated sequences in nonreflexive Banach spaces, „Proc. Amer. Math. Soc.” 129 (2000), s. 155–163.

[1]

[2]

[3]