Otwórz menu główne

Twierdzenie Herona, zagadnienie Herona – twierdzenie Herona z Aleksandrii dotyczące drogi promienia światła. Jedno z najstarszych zagadnień na ekstremum.

Spis treści

Treść twierdzeniaEdytuj

Niech ustalone punkty   leżą po tej samej stronie prostej   Weźmy dowolny punkt  

Oznaczmy przez   miarę kąta pomiędzy odcinkiem   i prostą   przez   miarę kąta pomiędzy odcinkiem   i  

Wówczas zachodzi następująca równoważność:

Łamana   ma najmniejszą długość    

Obrazowo treść tego twierdzenie można tak wyrazić:

Łamana   jest najkrótsza wtedy i tylko wtedy, gdy kąt padania jest równy kątowi odbicia.

DowódEdytuj

Skonstruujmy punkt   symetryczny do   względem prostej   i oznaczmy przez   miarę kąta pomiędzy odcinkiem   i  

Oczywiście zachodzi   oraz  

Dostajemy ciąg równoważnych zdań:

Łamana   ma najmniejszą długość   Łamana   ma najmniejszą długość   punkty   są współliniowe        

Druga z powyższych równoważności opiera się na nierówności trójkąta, trzecia na własności kątów wierzchołkowych.

Przykłady zastosowaniaEdytuj

W fizyceEdytuj

Twierdzenie znalazło zastosowanie w optyce. Stosuje się je przy konstrukcji obrazu w zwierciadle płaskim.

W matematyceEdytuj

W matematyce używane często przy rozwiązywaniu zadań o trójkątach oraz dotyczących drogi o najmniejszej długości (czyli minimum). Przykładowe zadania:

  • Tomek chce dojść jak najkrótszą trasą z miejscowości P do Q, po drodze zaczerpując wody z rzeki l. Skonstruować tę trasę.
  • Dany jest trójkąt o danym polu S i boku c = PQ. Spośród wszystkich takich trójkątów znaleźć ten, w którym suma pozostałych boków a + b jest najmniejsza.
Z warunku pierwszego (ustalone pole) wynika, że szukany trzeci wierzchołek znajduje się na prostej l równoległej do odcinka c, ponieważ odległość tego wierzchołka od prostej stanowiącej przedłużenie danego boku trójkąta musi być stała i wynosić h = 2S/c (wynika to ze wzoru na pole trójkąta S = 1/2 hc). Punkty P i Q są zatem jednakowo oddalone od prostej l. W tym szczególnym przypadku zgodnie z twierdzeniem Herona szukany trzeci wierzchołek trójkąta będzie równoodległy od punktów P i Q, a otrzymany trójkąt – równoramienny.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • R. Courant, H. Robbins: Co to jest matematyka. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1967.