Twierdzenie o dedukcji

Twierdzenie o dedukcji – jeżeli jest zdaniem oraz to formuła zdaniowa należy do zbioru gdzie to zbiór wszystkich konsekwencji logicznych zbioru formuł zdaniowych

Definicja formalnaEdytuj

Niech   będzie jakimkolwiek językiem rozszerzającym język klasycznego rachunku zdań i niech   będzie rachunkiem zdaniowym w tym języku.

Klasycznym twierdzeniem o dedukcji dla rachunku   nazywamy następujące stwierdzenie:

Dla dowolnego zbioru formuł   języka   oraz dwu formuł   zachodzi równoważność:
 

Prawdziwość twierdzenia o dedukcji wymaga wyprowadzalności reguły odrywania dla spójnika implikacji  

Wyprowadzalność tej reguły nie jest niestety warunkiem wystarczającym do jego prawdziwości.

Niech bowiem

 

gdzie:

  – zbiór formuł języka klasycznego rachunku zdań,
  – reguła odrywania dla spójnika implikacji,
  – reguła podstawiania dla języka klasycznego rachunku zdań,
  – zbiór aksjomatów klasycznego rachunku zdań.

Wówczas

  chociaż w żadnym wypadku nie jest prawdą, że
  bo
  a   nie jest tautologią.

Klasyczne twierdzenie o dedukcji jest prawdziwe m.in. w klasycznym i intuicjonistycznym rachunku zdań oraz w rachunku predykatów w ujęciu Endertona.

Zobacz teżEdytuj