Twierdzenie o trójzębie

Twierdzenie o trójzębie^[1]^[2], twierdzenie o trójliściu^[3] – twierdzenie geometrii euklidesowej, dotyczące odległości między pewnymi szczególnymi punktami związanymi z trójkątem^[3].

Twierdzenie edytuj

Ilustracja twierdzenia o trójzębie.

Niech $I$ będzie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC.$ Przez $D$ oznaczmy środek łuku $AC$ niezawierającego punktu $B.$ Z kolei $E$ niech będzie środkiem okręgu dopisanego do trójkąta $ABC$ stycznego do boku $AC.$ Wówczas spełnione są równości^[1]^[2]

|ID|=|AD|=|CD|=|ED|

.

Twierdzeniem o trójliściu nazywa się zwykle jedynie dwie pierwsze równości^[2]^[3].

Dowód edytuj

Z twierdzenia o kątach wpisanych opartych na tym samym łuku wynikają równości

|\angle ABI|=|\angle DCA|\quad

oraz

\quad |\angle CBI|=|\angle DAC|

.

Z własności środka okręgu wpisanego, $BI$ jest dwusieczną $\angle ABC,$ więc $|\angle DCA|=|\angle DAC|,$ a stąd trójkąt ACD jest równoramienny, tzn. $|AD|=|CD|.$

Korzystając z kątów przyległych i sumy miar kątów w trójkącie $ABI,$ otrzymujemy

{\begin{aligned}|\angle DIA|&=180^{\circ }-|\angle AIB|\\&=180^{\circ }-(180^{\circ }-|\angle IAB|-|\angle IBA|)\\&=|\angle IAB|+|\angle IBA|.\end{aligned}}

{\begin{aligned}|\angle DIA|&=|\angle IAB|+|\angle IBA|\\&=|\angle IAC|+|\angle CAD|\\&=|\angle IAD|.\end{aligned}}

Z powyższej równości kątów wnioskujemy, że trójkąt $ADI$ jest równoramienny i $|AD|=|DI|$ . To kończy dowód twierdzenia o trójliściu.

Aby udowodnić pełną formę twierdzenia o trójzębie, zauważmy, że z definicji punktów $I$ oraz $E$ zachodzi równość $\angle IAE=90^{\circ }.$ Stąd $IE$ jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym $IAE.$ Analogicznie $IE$ jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie $ICE.$ Zatem punkty $A,I,C,E$ leżą na jednym okręgu. Ponieważ trzy punkty jednoznacznie wyznaczają okrąg a $D$ jest środkiem okręgu opisanego na $AIC$ (z twierdzenia o trójliściu), $D$ jest również środkiem okręgu opisanego na $AICE.$ Stąd bezpośrednio wynika teza twierdzenia o trójzębie.

Zobacz też edytuj

Przypisy edytuj

↑ ^a ^b AdamA. Neugebauer AdamA., BeataB. Bogdańska BeataB., Planimetria, Wydawnictwo Szkolne OMEGA (Matematyka olimpijska), s. 33, ISBN 978-83-7267-711-2 (pol.).
↑ ^a ^b ^c BartłomiejB. Bzdęga BartłomiejB., Twierdzenie o trójzębie, „Delta” (03/2019), Warszawa: Uniwersytet Warszawski, 2019, s. 25, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-03-31] (pol.).
↑ ^a ^b ^c StefanS. Mizia StefanS., Trójkąty różnicowe cz. 2, „Matematyka”, 397 (7/2013), 2013, s. 29, ISSN 0137-8848 [zarchiwizowane z adresu 2024-03-31] (pol.).

[:1-1] AdamA. Neugebauer AdamA., BeataB. Bogdańska BeataB., Planimetria, Wydawnictwo Szkolne OMEGA (Matematyka olimpijska), s. 33, ISBN 978-83-7267-711-2 (pol.).

[:2-2] BartłomiejB. Bzdęga BartłomiejB., Twierdzenie o trójzębie, „Delta” (03/2019), Warszawa: Uniwersytet Warszawski, 2019, s. 25, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-03-31] (pol.).

[:0-3] StefanS. Mizia StefanS., Trójkąty różnicowe cz. 2, „Matematyka”, 397 (7/2013), 2013, s. 29, ISSN 0137-8848 [zarchiwizowane z adresu 2024-03-31] (pol.).

[1]

[2]

[3]