Układ uogólniony o równaniach stanu w postaci:
E
x
˙
(
t
)
=
A
x
(
t
)
+
B
u
(
t
)
,
{\displaystyle \mathbf {E} {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bu} (t),}
y
(
t
)
=
C
x
(
t
)
+
D
u
(
t
)
,
{\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {Cx} (t)+\mathbf {Du} (t),}
gdzie:
zmienne : wejściowe
u
(
t
)
∈
R
m
,
{\displaystyle \mathbf {u} (t)\in \mathbb {R} ^{m},}
wyjściowe
y
(
t
)
∈
R
p
{\displaystyle \mathbf {y} (t)\in \mathbb {R} ^{p}}
stanu
x
(
t
)
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {x} (t)\in \mathbb {R} ^{n}}
macierz stanu
A
∈
R
q
n
,
{\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{qn},}
C
∈
R
p
n
,
{\displaystyle \mathbf {C} \in \mathbb {R} ^{pn},}
B
∈
R
q
m
,
{\displaystyle \mathbf {B} \in \mathbb {R} ^{qm},}
D
∈
R
p
m
{\displaystyle \mathbf {D} \in \mathbb {R} ^{pm}}
E
∈
R
q
n
,
{\displaystyle \mathbf {E} \in \mathbb {R} ^{qn},}
nazywany jest układem singularnym , jeśli rząd
E
=
r
<
n
.
{\displaystyle \mathbf {E} =r<n.}
q
=
n
,
{\displaystyle q=n,}
d
e
t
E
=
0
{\displaystyle det\mathbf {E} =0}
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
macierzą osobliwą ).
Istnieją takie macierze nieosobliwe
P
,
Q
∈
R
n
n
,
{\displaystyle \mathbf {P} ,\mathbf {Q} \in \mathbb {R} ^{nn},}
pęk macierzy
(
E
,
A
)
{\displaystyle (\mathbf {E} ,\mathbf {A} )}
układ wolny (standardowy)
x
1
˙
(
t
)
=
A
1
x
1
(
t
)
+
B
1
u
(
t
)
,
{\displaystyle {\dot {\mathbf {x_{1}} }}(t)=\mathbf {A_{1}x_{1}} (t)+\mathbf {B_{1}u} (t),}
y
1
(
t
)
=
C
1
x
1
(
t
)
+
D
1
u
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {y_{1}} (t)=\mathbf {C_{1}x_{1}} (t)+\mathbf {D_{1}u} (t)}
i układ szybki (ściśle singularny)
N
x
2
˙
(
t
)
=
x
2
(
t
)
+
B
2
u
(
t
)
,
{\displaystyle \mathbf {N} {\dot {\mathbf {x_{2}} }}(t)=\mathbf {x_{2}} (t)+\mathbf {B_{2}u} (t),}
y
2
(
t
)
=
C
2
x
2
(
t
)
+
D
2
u
(
t
)
,
{\displaystyle \mathbf {y_{2}} (t)=\mathbf {C_{2}x_{2}} (t)+\mathbf {D_{2}u} (t),}
gdzie
N
∈
R
n
2
n
2
.
{\displaystyle \mathbf {N} \in \mathbb {R} ^{n_{2}n_{2}}.}
edytuj
Niech dany będzie układ z proporcjonalno-różniczkowym sprzężeniem zwrotnym opisany równaniami:
x
˙
(
t
)
=
A
x
(
t
)
+
B
u
(
t
)
,
{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bu} (t),}
y
(
t
)
=
C
x
(
t
)
,
{\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {Cx} (t),}
u
(
t
)
=
v
(
t
)
−
F
1
y
(
t
)
−
F
2
y
˙
(
t
)
,
{\displaystyle \mathbf {u} (t)=\mathbf {v} (t)-\mathbf {F_{1}} \mathbf {y} (t)-\mathbf {F_{2}} {\dot {\mathbf {y} }}(t),}
gdzie:
zmienne : wejściowe
u
(
t
)
∈
R
m
,
{\displaystyle \mathbf {u} (t)\in \mathbb {R} ^{m},}
wyjściowe
y
(
t
)
∈
R
p
{\displaystyle \mathbf {y} (t)\in \mathbb {R} ^{p}}
stanu
x
(
t
)
∈
R
n
,
{\displaystyle \mathbf {x} (t)\in \mathbb {R} ^{n},}
v
(
t
)
∈
R
m
{\displaystyle \mathbf {v} (t)\in \mathbb {R} ^{m}}
macierz stanu
A
∈
R
q
n
,
{\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{qn},}
C
∈
R
p
n
,
{\displaystyle \mathbf {C} \in \mathbb {R} ^{pn},}
B
∈
R
q
m
,
{\displaystyle \mathbf {B} \in \mathbb {R} ^{qm},}
F
1
,
F
2
∈
R
q
p
.
{\displaystyle \mathbf {F_{1}} ,\mathbf {F_{2}} \in \mathbb {R} ^{qp}.}
Podstawiając drugie z powyższych równań do trzeciego, a otrzymane w ten sposób wyrażenie do pierwszego, otrzymujemy:
[
I
+
B
F
2
C
]
x
˙
(
t
)
=
[
A
−
B
F
1
C
]
x
(
t
)
+
B
v
(
t
)
.
{\displaystyle \mathbf {[I+BF_{2}C]} {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {[A-BF_{1}C]x} (t)+\mathbf {Bv} (t).}
Układ opisany powyższym równaniem (oraz równaniem
y
(
t
)
=
C
x
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {Cx} (t)}
E
=
[
I
+
B
F
2
C
]
{\displaystyle \mathbf {E=[I+BF_{2}C]} }
macierzą osobliwą .
![{\displaystyle \mathbf {[I+BF_{2}C]} {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {[A-BF_{1}C]x} (t)+\mathbf {Bv} (t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a68521f84962b538fac265d17aa0061048615827)
![{\displaystyle \mathbf {E=[I+BF_{2}C]} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f9278efb1c375f51874af06240d0e6705e488b)