Uogólnianie typu indukcyjnego

Główny artykuł: Uogólnianie matematyczne.

Uogólnianie typu indukcyjnego – w dydaktyce matematyki jest uogólnianiem twierdzeń lub rozumowań, wnioskowaniem empirycznym[1][2], rozumianym jako proces odkrywania praw ogólnych na podstawie kilku przypadków szczególnych i poszukiwaniu dla nich wspólnego schematu[3][4]. Od empiryzmu w przyrodzie różni się tym, że przypadki szczególne dotyczą ściśle matematyki[1].

Teza stawiana na drodze uogólniania typu indukcyjnego stanowi ogólniejszą wersję twierdzeń, na podstawie których została sformułowana (tzn. każde z twierdzeń można otrzymać z ogólnej tezy na drodze specyfikacji), lecz sam ten fakt nie gwarantuje jeszcze prawdziwości stawianej hipotezy[3] (por. przykład 2). Prawdziwość matematyczną hipotezy należy zweryfikować[3].

Badania wykazują, że zdolni uczniowie często stosują próby uogólniania typu indukcyjnego w sposób spontaniczny[3]. Anna Zofia Krygowska postuluje, by słabszym uczniom sugerować uogólnianie typu indukcyjnego i metodami heurystycznymi pomagać im w dostrzeżeniu ogólniejszych schematów widocznych w kilku szczególnych twierdzeniach matematycznych[3].

PrzykładyEdytuj

Przykład 1Edytuj

Uczeń ma obliczyć sumę

 

Zaczyna rozumowanie od obliczenia pierwszych trzech wyrazów ciągu   Otrzymuje:

 

Są to trzy szczególne twierdzenia. Uczeń zauważa, że te równości można otrzymać z równości:

 

odpowiednio przed podstawienie   Twierdzenie

 

jest twierdzeniem ogólniejszym od każdego z trzech wymienionych twierdzeń, bo każde z nich można otrzymać z tego twierdzenia przez specyfikację. Każde z tych trzech twierdzeń szczególnych jest twierdzeniem prawdziwym, tego jesteśmy pewni, twierdzenie ogólne natomiast jest w tej fazie jeszcze tylko hipotezą, której słuszność trzeba zbadać[3]

Przykład 2Edytuj

Obliczyć wartość funkcji   określonej w zbiorze liczb naturalnych dla liczb pierwszej dziesiątki. Uzupełnić zapisy:                    

Jakimi liczbami są otrzymane wartości tej funkcji?[5]

Uczeń zauważy, że otrzymane liczby są pierwsze, przez co postawi (błędną) hipotezę, że wartości tej funkcji są zawsze liczbami pierwszymi[6], a fałszywość tej hipotezy uczeń będzie musiał odkryć, stosując właściwą weryfikację matematyczną[3].

PrzypisyEdytuj

  1. a b Lidia Zaręba, Matematyczne uogólnianie. Możliwości uczniów i praktyka nauczania, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2012, ISSN 0239-6025, ISBN 978-83-7271-713-9, s. 39–40.
  2. Lidia Zaręba, Matematyczne uogólnianie. Możliwości uczniów i praktyka nauczania, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2012, ISSN 0239-6025, ISBN 978-83-7271-713-9, s. 33.
  3. a b c d e f g Anna Zofia Krygowska, Zarys dydaktyki matematyki cz.3, WSiP, Warszawa 1977, s. 112–113.
  4. George Pólya, Jak to rozwiązać, PWN, Warszawa, 1993, s. 113.
  5. Helena Siwek, Rozumowanie intuicyjne, empiryczne i formalne w nauczaniu matematyki, Oświata i Wychowanie, Wersja B, nr 9, 1985, s. 44.
  6. Lidia Zaręba, Matematyczne uogólnianie. Możliwości uczniów i praktyka nauczania, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2012, ISSN 0239-6025, ISBN 978-83-7271-713-9, s. 28.