Wnioskowanie empiryczne

Wnioskowanie empiryczne – w dydaktyce matematyki jest to ogólne pojęcie łączące empiryzm w przyrodzie i uogólnianie typu indukcyjnego, opierające się m.in. na indukcji przyrodniczej.

Prof. Anna Zofia Krygowska następująco scharakteryzowała oba powiązane ze sobą typy wnioskowania empirycznego:

Wnioskowanie empiryczne pierwszego rodzaju (empiryzm w przyrodzie):

• Uczeń obserwuje fizyczne stosunki przestrzenne lub ilościowe, występujące w jego naturalnym otoczeniu, w modelu lub na rysunku
• i bezpośrednio je matematyzując, to jest opisując w terminach matematycznych to, co widzi lub stwierdza doświadczeniem,
• formułuje hipotezę matematyczną.

Wnioskowanie empiryczne drugiego rodzaju (empiryzm w matematyce):

• Uczeń wykonuje ciąg prób matematycznych (np. obliczeń)
• i dostrzegając pewną prawidłowość w rezultatach tych prób
• formułuje hipotezę matematyczną, a więc stosuje metodę indukcji tak, jak ją stosuje przyrodnik.

Uogólnianie typu indukcyjnego, a wnioskowanie empiryczne drugiego rodzaju

We współczesnej dydaktyce matematyki definicję Krygowskiej wnioskowania empirycznego drugiego rodzaju, utożsamia się z uogólnianiem typu indukcyjnego. Wyodrębnienie w dydaktyce matematyki pojęcia „uogólnianie typu indukcyjnego” można przypisać prof. Krygowskiej, która zasady wnioskowania empirycznego w samej matematyce nazwała „wnioskowaniem indukcyjnym”.

Za utożsamieniem wnioskowania empirycznego drugiego rodzaju z uogólnieniem typu indukcyjnego przemawiają poniższe dwa rozwiązania tego samego zadania:

Rozwiązanie w kontekście wnioskowania empirycznego drugiego rodzaju:

Poprawnie indukcyjnie rozumuje uczeń, który mając za zadanie obliczyć sumę:

$s_{n}={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\ldots +{\frac {1}{(n-1)\cdot n}}$

znajduje kolejno:

$s_{1}={\frac {1}{2}},\ \ s_{2}={\frac {2}{3}},\ \ s_{3}={\frac {3}{4}},\ \ s_{4}={\frac {4}{5}},$

dostrzegając „prawidłowość” w tym ciągu oraz formułując przypuszczenie:

„to będzie wzór $s_{n}={\frac {n}{n+1}}$”.

W dalszym ciągu następuje weryfikacja tego przypuszczenia oparta na twierdzeniu o indukcji zupełnej. Jest to empiryzm w samej matematyce, a nie w dziedzinie jej fizycznych modeli.

Rozwiązanie w kontekście uogólniania typu indukcyjnego:

Uczeń ma obliczyć sumę

$S_{n}={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\ldots +{\frac {1}{(n-1)\cdot n}}.$

Zaczyna rozumowanie od obliczenia pierwszych trzech wyrazów ciągu $S_{n}.$ Otrzymuje:

$S_{1}={\frac {1}{2}},\ \ S_{2}={\frac {2}{3}},\ \ S_{3}={\frac {3}{4}}.$

Są to trzy szczególne twierdzenia. Uczeń zauważa, że te równości można otrzymać z równości:

$S_{n}={\frac {n}{n+1}}$

odpowiednio przed podstawienie $n=1,\ n=2,\ n=3.$ Twierdzenie

$\forall _{n\in \mathbb {N} }\ S_{n}={\frac {n}{n+1}}$

jest twierdzeniem ogólniejszym od każdego z trzech wymienionych twierdzeń, bo każde z nich można otrzymać z tego twierdzenia przez specyfikację. Każde z tych trzech twierdzeń szczególnych jest twierdzeniem prawdziwym, tego jesteśmy pewni, twierdzenie ogólne natomiast jest w tej fazie jeszcze tylko hipotezą, której słuszność trzeba zbadać.

Przykłady

Empiryzm w przyrodzie

Uczeń doświadczalnie spostrzega równoliczność dwóch zbiorów poprzez dostrzeżenie między nimi bijekcji.

Empiryzm w matematyce

Uczeń oblicza kilka pierwszych wartości funkcji $f(n)=n^{2}-n+41,$ po czym formułuje (fałszywą) hipotezę, że wszystkie wartości tej funkcji będą liczbami pierwszymi (indukcja przyrodnicza).