Wikipedia

Uogólnianie matematyczne

Uogólnianie matematyczne (proces uogólniania, generalizowanie) – jedna z aktywności matematycznych[1][2][3]. Uogólnianie matematyczne jest przejściem od rozpatrywania jednego obiektu do rozpatrywania zbioru zawierającego ten obiekt albo przejściem od rozpatrywania węższego zbioru do rozpatrywania szerszego zbioru zawierającego ten zbiór[4].

Uogólnianie jest pewnym procesem, czynnością poznawczą[5]. Lubomirski scharakteryzował proces uogólniania następująco:

Gdy mówimy bowiem, w perspektywie epistemologicznej rzecz rozważając, że pewne B jest uogólnieniem jakiegoś A, mamy na myśli nie tylko to, że A jest po prostu w jakimś formalnym sensie przypadkiem szczególnym B, ale ponadto (i przede wszystkim) to, że B jest wynikiem spełniającej określone warunki procedury poznawczej, rezultatem faktycznego aktu podmiotu poznającego[6].

Lubomirski dostrzega różne źródła tych sytuacji, takie jak np.: (1) uogólnienie B było zainspirowane sytuacją wyjściową redukującą się do A lub zawierającą A jako jeden z jej elementów; albo (2) polegało na odtworzeniu takiej sytuacji wyjściowej i rozpoznaniu relacji inkluzji między A i B oraz otaczającymi je sytuacjami matematycznymi[6][7]. Uogólnienie wiąże się z pokonywaniem drogi od ogółu do szczegółu oraz świadomością tej drogi[7].

Przykład uogólnienia w ujęciu (1): uczeń po przypomnieniu wzoru na pole kwadratu bada, jakie jeszcze czworokąty mają tę własność, że ich pole jest iloczynem długości dwóch sąsiednich boków[7].

Przykład uogólnienia w ujęciu (2): uczeń po wprowadzeniu definicji odpowiednich czworokątów odpowiada na pytania nauczyciela: Czy każdy kwadrat jest równoległobokiem? Czy każdy równoległobok jest kwadratem?[7].

Ujęcie formalne edytuj

Uogólnianie polega na ustaleniu pewnych wspólnych własności danego zbioru obiektów, co jest równoważne znajdowaniu pewnego zbioru, zawierającego dane obiekty-zbiory[8]. Pozbywa się wtedy jednostkowości wyabstrahowanej cechy i rozciąga ją na cały zbiór obiektów lub relacji[8]. Przykładem może być uogólnienie „bycia trójkątem równobocznym” na „bycie wielokątem foremnym”[9].

W tym ujęciu wyróżnia się[9]:

Rodzaje uogólnień w matematyce edytuj

Podział uogólnień ze względu na typ sytuacji, w której dokonuje się uogólnienia:

  1. Uogólniania pojęć i definicji[11][12]:
    1. Uogólnianie przez rozpoznanie[11][12][13][14]
    2. Uogólnianie przez konstrukcję[11][12][13][14]
  2. Uogólniania twierdzeń, zadań lub rozumowań[11][12]:
    1. Wnioskowanie empiryczne[11]:
      1. empiryzm w przyrodzie (empiryzm w dziedzinie modeli, rzeczywistości)[11][12][15]
      2. uogólnianie typu indukcyjnego (empiryzm w matematyce)[11][12][13][15][14][16][10][17][18]
    2. Uogólnianie rozumowania[11][12][13][16][17]:
      1. Uogólnianie przez uzmiennianie stałych[11][12][14][10]
      2. Uogólnianie przez dostrzeżenie prawa rekurencji[11][12][13]
    3. Uogólnianie wyniku lub metody[11][12][17]
    4. Uogólnianie przez unifikację[11][12][13][16][10].

Typy te nie są rozłączne[19].

Uogólnianie a uogólnienie edytuj

Uogólnianie jest procesem, operacją myślową, czynnością, procedurą poznawczą[20]. Uogólnienie jest rezultatem tego procesu – jest to np. pewne pojęcie, twierdzenie, hipoteza, sąd, prawidłowość, słowo, zadanie, zdanie itp[20][21].

Uogólnianie a indukcja i dedukcja edytuj

Uogólnianie kojarzy się z rozumowaniem indukcyjnym (od szczegółu do ogółu)[22]. Jednak dydaktycy matematyki dostrzegają także możliwość uogólniania na drodze rozumowania dedukcyjnego (od ogółu do szczegółu)[22].

Niektórzy dydaktycy stosują nawet podział na uogólnienia dedukcyjne oraz uogólnienia indukcyjne[a] (nie mylić z uogólnieniami typu indukcyjnego)[22]. Istota uogólniania dedukcyjnego sprowadza się do sprawdzania, czy dany obiekt posiada pewną własność, i wnioskowania na tej podstawie o jego przynależności do zakresu danego pojęcia[22]. Przykładowo po zdefiniowaniu wielokąta foremnego nauczyciel rysuje kilka wielokątów foremnych i nieforemnych. Zadaniem uczniów jest uzasadnienie, dlaczego dany wielokąt jest foremny lub nie[23].

Uogólnianie a abstrahowanie edytuj

Abstrakcję i uogólnianie, mimo że są pojęciami ze sobą powiązanymi, trzeba od siebie odróżniać[24]. Abstrahowanie oznacza pomijanie pewnych cech, mniej istotnych z pewnego punktu widzenia, wyodrębnianie (wydzielenie) konkretnych, ważnych cech i oderwanie ich od pozostałych[24][25][26][27][28][29][30][8]. Uogólnianie można rozumieć jako abstrahowanie cech wspólnych[31]. Zatem abstrakcja jest wydzieleniem, wydobyciem jakiejś ważnej strony jakiegoś zjawiska i oderwanie go od pozostałych cech[29][30][8]. Z kolei uogólnianie polega na odrzuceniu cech specyficznych, jednostkowych, swoistych oraz jednostkowości cech wyabstrahowanych i zachowanie wyłącznie tych, które są wspólne dla różnych przedmiotów jednostkowych, które odbywa się przez porównywanie lub abstrahowanie[30][8][32]. Inaczej mówiąc, abstrakcja to tworzenie klasy, a uogólnianie to rozszerzanie klasy[33][34]. Z tej przyczyny abstrahowanie jest dla ucznia łatwiejsze od uogólniania[33][35]. Pomostem między abstrahowaniem i uogólnianiem jest tzw. „abstrahowanie generalizujące”[36].

Powiązanie procesów abstrahowania tudzież uogólniania ilustruje poniższy schemat:

 
Opracowane na podstawie: (Puchalska, Semadeni, 1991)[37]

Tak rozumiana abstrakcja jest narzędziem pomocnym w procesie uogólniania[24].

Kolejny przykład współdziałania abstrakcji i uogólniania podał Tocki:

Posługując się zbiorami różnych fizycznych przedmiotów dokonujemy abstrahowania od cech materialnych i formułujemy konkretne wnioski:       itd. Kolejna abstrakcja jest już od przedmiotowości myślowej:   Uogólniamy tę własność najpierw dla wszystkich liczb rzeczywistych:   w końcu zapisujemy   gdzie     są elementami zbioru, w których określono działanie wewnętrzne   Otrzymaliśmy w ten sposób najogólniejsze pojęcie przemienności działania[38].

Problemy uczniów z uogólnianiem edytuj

Uwagi edytuj

  1. ↑ Pomimo rozróżniania pojęć „uogólnianie” i „uogólnienie”, wielu dydaktyków w swych publikacjach stosuje te pojęcia zamiennie lub używa wyłącznie pojęcia „uogólnienie”, tłumacząc czy w danym kontekście jest to proces czy wynik procesu. W artykule pozostawiona jest pisownia oryginalna z literatury.

Przypisy edytuj

  1. ↑ Marianna Ciosek, Anna Żeromska, Rozumowania w matematyce elementarnej, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2013, s. 10.
  2. ↑ Lidia Zaręba, Matematyczne uogólnianie. Możliwości uczniów i praktyka nauczania, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2012, ISSN 0239-6025, ISBN 978-83-7271-713-9, s. 20.
  3. ↑ Anna Zofia Krygowska, Główne problemy i kierunki badań współczesnej dydaktyki matematyki, Dydaktyka Matematyki 1, 1981, s. 41–42.
  4. ↑ George Pólya, Jak to rozwiązać, PWN, Warszawa, 1993, s. 248–249.
  5. ↑ Lidia Zaręba, Matematyczne uogólnianie. Możliwości uczniów i praktyka nauczania, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2012, ISSN 0239-6025, ISBN 978-83-7271-713-9, s. 18.
  6. ↑ a b A. Lubomirski, O uogólnianiu w matematyce, Polska Akademia Nauk, Instytut Filozofii i Socjologii, Zakład im. Ossolińskich, Wrocław 1983.
  7. ↑ a b c d Lidia Zaręba, Matematyczne uogólnianie. Możliwości uczniów i praktyka nauczania, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2012, ISSN 0239-6025, ISBN 978-83-7271-713-9, s. 18–19.
  8. ↑ a b c d e f g h J. Tocki, Struktura procesu kształcenia matematycznego, cz.1., Wydawnictwo Wyższej Szkoły Pedagogicznej, Rzeszów 2000, s. 29.
  9. ↑ a b Lidia Zaręba, Matematyczne uogólnianie. Możliwości uczniów i praktyka nauczania, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2012, ISSN 0239-6025, ISBN 978-83-7271-713-9, s. 21.
  10. ↑ a b c d W. Mnich, Aktywności matematyczne jako kryterium doboru zadań w nauczaniu matematyki, rozprawa doktorska pod kierunkiem prof. dr Anny Zofii Krygowskiej, WSP, Kraków 1980.
  11. ↑ a b c d e f g h i j k l Lidia Zaręba, Matematyczne uogólnianie. Możliwości uczniów i praktyka nauczania, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2012, ISSN 0239-6025, ISBN 978-83-7271-713-9, s. 33.
  12. ↑ a b c d e f g h i j k Lidia Zaręba, Matematyczne uogólnianie. Możliwości uczniów i praktyka nauczania, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2012, ISSN 0239-6025, ISBN 978-83-7271-713-9, s. 39–40.
  13. ↑ a b c d e f Anna Zofia Krygowska, Zarys dydaktyki matematyki cz.3, WSiP, Warszawa 1977.
  14. ↑ a b c d W. Nowak, Konwersatorium z dydaktyki matematyki, PWN, Warszawa 1989.
  15. ↑ a b Anna Zofia Krygowska, Zarys dydaktyki matematyki cz.1, WSiP, Warszawa 1979.
  16. ↑ a b c M. Ciosek, O roli przykładów w badaniu matematyczym, Dydaktyka Matematyki 17, 1995, s. 5–85.
  17. ↑ a b c George Pólya, Jak to rozwiązać, PWN, Warszawa, 1993.
  18. ↑ I. Gucewicz-Sawicka, Proces uogólniania w nauczaniu matematyki, [w:] Podstawowe zagadnienia dydaktyki matematyki, I. Gucewicz-Sawicka (red.), PWN, Warszawa 1982, s. 107–118.
  19. ↑ Lidia Zaręba, Matematyczne uogólnianie. Możliwości uczniów i praktyka nauczania, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2012, ISSN 0239-6025, ISBN 978-83-7271-713-9, s. 33–34.
  20. ↑ a b Lidia Zaręba, Matematyczne uogólnianie. Możliwości uczniów i praktyka nauczania, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2012, ISSN 0239-6025, ISBN 978-83-7271-713-9, s. 38–39.
  21. ↑ Lidia Zaręba, Matematyczne uogólnianie. Możliwości uczniów i praktyka nauczania, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2012, ISSN 0239-6025, ISBN 978-83-7271-713-9, s. 40.
  22. ↑ a b c d Lidia Zaręba, Matematyczne uogólnianie. Możliwości uczniów i praktyka nauczania, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2012, ISSN 0239-6025, ISBN 978-83-7271-713-9, s. 24–25.
  23. ↑ J. Tocki, Struktura procesu kształcenia matematycznego, cz.1., Wydawnictwo Wyższej Szkoły Pedagogicznej, Rzeszów 2000, s. 123.
  24. ↑ a b c Lidia Zaręba, Matematyczne uogólnianie. Możliwości uczniów i praktyka nauczania, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2012, ISSN 0239-6025, ISBN 978-83-7271-713-9, s. 34–38.
  25. ↑ Hasło: „Abstrahować”, Słownik języka polskiego, M. Szymczak (red.), t. 1, PWN, Warszawa 1998, s. 4.
  26. ↑ Hasło: „Abstrakcja”, Słownik języka polskiego, M. Szymczak (red.), t. 1, PWN, Warszawa 1998, s. 4.
  27. ↑ Hasło: „Abstrakcja”, Mała encyklopedia powszechna, C. Sojecki (red.), PWN, Warszawa 1970, s. 2.
  28. ↑ Hasło: „Abstrahować”, W. Kopaliński, Słownik wyrazów obcych i zwrotów obcojęzycznych, WP, Warszawa 1983, s. 12.
  29. ↑ a b S.L. Rubinsztejn, Podstawy psychologii ogólnej, Książka i Wiedza, Warszawa 1962, s. 472.
  30. ↑ a b c A. Jurkowski, Ontogeneza mowy i myślenia, WSiP, Biblioteka Psychologiczna, Warszawa 1986, s. 137.
  31. ↑ A. Lubomirski, O uogólnianiu w matematyce, Polska Akademia Nauk, Instytut Filozofii i Socjologii, Zakład im. Ossolińskich, Wrocław 1983, s. 80.
  32. ↑ S.L. Rubinsztejn, Podstawy psychologii ogólnej, Książka i Wiedza, Warszawa 1962, s. 474–475.
  33. ↑ a b A.Z. Krygowska, Zarys dydaktyki matematyki cz.1, WSiP, Warszawa 1979, s. 35.
  34. ↑ Z.P. Dienes, Abstraction and generalisation, Harvard Educational Review, 1961.
  35. ↑ W. Nowak, Konwersatorium z dydaktyki matematyki, PWN, Warszawa 1989, s. 266.
  36. ↑ E. Puchalska, Z. Semadeni, Nauczanie początkowe matematyki w świetle ogólnych zasad nauczania, [w:] Nauczanie początkowe matematyki, t. 1, Z. Semadeni (red.), WSiP, Warszawa 1991, s. 60.
  37. ↑ E. Puchalska, Z. Semadeni, Nauczanie początkowe matematyki w świetle ogólnych zasad nauczania, [w:] Nauczanie początkowe matematyki, t. 1, Z. Semadeni (red.), WSiP, Warszawa 1991, s. 62.
  38. ↑ J. Tocki, Struktura procesu kształcenia matematycznego, cz.1., Wydawnictwo Wyższej Szkoły Pedagogicznej, Rzeszów 2000, s. 116.
  39. ↑ Lidia Zaręba, Matematyczne uogólnianie. Możliwości uczniów i praktyka nauczania, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2012, ISSN 0239-6025, ISBN 978-83-7271-713-9, s. 8.
  40. ↑ M. Legutko, Umiejętność matematycznego uogólniania wśród nauczycieli i studentów matematyki specjalności nauczycielskiej (na przykładzie serii zadań „schodki”), Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia III, s. 80.
  41. ↑ Osiągnięcia uczniów kończących gimnazjum w roku 2008, s. 152.
  42. ↑ Osiągnięcia uczniów kończących gimnazjum w roku 2008, s. 193–196.
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Uogólnianie_matematyczne&oldid=71543717”