Wcięcie liniowe w przód

Wcięcie liniowe lub wcięcie długościowe – jedno z podstawowych zagadnień geodezyjnych powszechnie stosowane do zagęszczania osnów poziomych.

Metoda pozwala wyznaczyć współrzędne pojedynczego szukanego (wcinanego) punktu W. Wcięcie liniowe jest jednoznacznie wyznaczalne, ponieważ liczba obserwacji u jest równa liczbie niewiadomych n, którymi są współrzędne (X_W,Y_W) punktu wcinanego.

W przypadku gdy punkty A i B są punktami osnowy geodezyjnej o znanych współrzędnych geodezyjnych, wówczas wcinany punkt W, po wykonaniu pomiarów i obliczeniu współrzęnych, będzie punktem osnowy niższego rzędu.

Dane

W celu obliczenia współrzędnych szukanego punktu W, musimy znać współrzędne dwóch innych punktów $A=(X_{A},Y_{A}),\ B=(X_{B},Y_{B})$ oraz ich odległości od szukanego punktu, odpowiednio a i b.

Opis metody 1

Obliczamy odległość |AB| ze wzoru:

$c=|AB|={\sqrt {(X_{A}-X_{B})^{2}+(Y_{A}-Y_{B})^{2}}}$

(1)

Obliczamy kąty wewnętrzne $\alpha ,\ \beta \ i\ \gamma$ z twierdzenia Carnota (cosinusów):

${\begin{cases}\cos \alpha ={\cfrac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2bc}}={\cfrac {C_{a}}{2bc}}\\\cos \beta ={\cfrac {\ \ a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2ac}}={\cfrac {C_{b}}{2ac}}\\\cos \gamma ={\cfrac {\ \ a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}={\cfrac {C_{c}}{2ab}}\end{cases}}$

(2)

Wyrażenia C_a, C_b, C_c noszą nazwę karnotianów:

${\begin{cases}C_{a}=-a^{2}+b^{2}+c^{2}\\C_{b}=\ \ a^{2}-b^{2}+c^{2}\\C_{c}=\ \ a^{2}+b^{2}-c^{2}\end{cases}}$

(3)

Suma karnotianów jest równa sumie kwadratów boków trójkąta, co można wykorzystać do kontroli ich obliczenia:

$C_{a}+C_{b}+C_{c}=a^{2}+b^{2}+c^{2}\$

(4)

Kontrolą obliczenia wartości kątów α, β, γ na podstawie twierdzenia cosinusów jest ich suma, która powinna wynosić dokładnie

180^o (200^g).

Po wyliczeniu kątów wewnętrznych dalszy ciąg obliczeń prowadzimy jak dla wcięcia kątowego w przód.

Opis metody 2

Kolejnym sposobem rozwiązania wcięcia liniowego jest obliczenie współrzędnych X_W, Y_W na podstawie wzoru (5) opartego na pomocniczych symbolach rachunkowych Hausbrandta:

$(X_{W},Y_{W})={\begin{array}{|cc|cc|}X_{A}&Y_{A}&X_{B}&Y_{B}\\-4P&C_{b}&+4P&C_{a}\end{array}}_{\,(1,2)}$

(5)

Po przekształceniu do postaci algebraicznej otrzymujemy dwa równania

${\begin{matrix}X_{W}={\cfrac {+X_{A}\cdot C_{b}+Y_{A}\cdot 4P+X_{B}\cdot C_{a}-Y_{B}\cdot 4P}{C_{a}+C_{b}}}\\Y_{W}={\cfrac {-X_{A}\cdot 4P+Y_{A}\cdot C_{b}+X_{B}\cdot 4P+Y_{B}\cdot C_{a}}{C_{a}+C_{b}}}\end{matrix}}$

(6)

gdzie 4P to poczwórne pole trójkąta ABW wyrażone wzorem:

$4P={\sqrt {C_{a}\cdot C_{b}+C_{a}\cdot C_{c}+C_{b}\cdot C_{c}}}$

(7)

Zobacz też

• Wcięcie kątowe w przód

Bibliografia

• Jagielski Andrzej, Geodezja II, Wydawnictwo P.W.STABILL, ISBN 978-83-922884-3-5 str 260, (ISBN 83-918598-2-7 str 238)