Wieloczynnikowa analiza wariancji

Wieloczynnikowa analiza wariancji jest testem statystycznym służącym ocenie wpływu wielu zmiennych niezależnych (czynników) na wartość rozpatrywanej zmiennej zależnej. Za analizę wieloczynnikową przyjmuje się taką, w której mamy do czynienia z co najmniej dwoma zmiennymi niezależnymi (czynnikami klasyfikującymi).

Założenia

Wyniki uzyskane metodą analizy wieloczynnikowej uznaje się za prawdziwe, o ile spełnione są następujące założenia:

• każda populacja musi mieć rozkład normalny
• wariancje w populacjach są równe.

Teoria

Omówmy podstawy analizy wieloczynnikowej na przykładzie 2-czynnikowej analizy wariancji.

Podobnie jak w przypadku analizy jednoczynnikowej, tak i teraz wpływ zmiennych niezależnych na zmienną zależną weryfikowany jest z uwzględnieniem wielu ich poziomów – dla przykładu, zmienna niezależna pn. „satysfakcja pacjenta z terapii lekowej” może być rozpatrywana na 4 poziomach: terapia lekiem I, terapia lekiem II, terapia lekiem III, terapia przy użyciu placebo. Analiza wieloczynnikowa prowadzi zatem do wskazania jak na zmienną zależną wpływają:

• czynniki klasyfikujące (zmienne niezależne) – oznaczane z reguły wielkimi literami (A, B, C itd.);
• wzajemne interakcje między czynnikami klasyfikującymi (zmiennymi niezależnymi) – oznaczane poprzez wskazanie współzależnych czynników (AB, AC itd.);
• poziomy czynników klasyfikujących (zmiennych niezależnych) – oznaczane z reguły małymi literami (a, b, c itd.).

Co istotne, ponieważ wieloczynnikowa analiza wariancji uwzględnia interakcję czynników (zmiennych niezależnych) między sobą – czyni to niezasadnym metodologicznie wielokrotne stosowanie jednoczynnikowych analiz wariancji dla każdego z rozpatrywanych czynników kwalifikujących.

Załóżmy zatem, że spełnione są ww. założenia, a we wszystkich podgrupach wyznaczonych przez czynniki klasyfikujące A (niech tworzy go a-poziomów) i B (niech tworzy go b-poziomów) znajduje się taka sama liczba obserwacji (k).

Układ hipotez zerowych jest następujący:

• $H_{A0}{:}$ Czynnik A nie wpływa na zmienną zależną.
• $H_{B0}{:}$ Czynnik B nie wpływa na zmienną zależną.
• $H_{AB0}{:}$ Wzajemna interakcja czynników AB nie wpływa na zmienną zależną.

Dla każdego z czynników A, B (źródeł zmienności) oraz interakcji AB wyznaczany jest osobny zestaw parametrów, na które składają się: liczba stopni swobody $(\upsilon _{z}),$ suma kwadratów odchyleń $(SS_{z})$ oraz średni kwadrat odchyleń $(MS_{z}).$ Parametry te stanowią podstawę do obliczenia wartości statystyki testowej $(F_{z}).$ Statystyka $F_{z}$ ma, przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej, rozkład F Snedecora o liczbie stopni swobody odpowiadającej $\upsilon _{z}$ i czynnikowi losowemu $e$ (błąd).

Komplet przydatnych wzorów, z uwzględnieniem powyższych uwarunkowań, zestawiono poniżej:

• liczba stopni swobody: $\upsilon _{A}=a-1,$ $\upsilon _{B}=b-1,$ $\upsilon _{AB}=(a-1)\cdot (b-1),$ $e=n-ab.$

• suma kwadratów odchyleń: $SS_{A}=bk\sum \limits _{i=1}^{a}({\overline {y_{i\cdot \cdot }}}-{\overline {y}})^{2},$ $SS_{B}=ak\sum \limits _{j=1}^{b}({\overline {y_{\cdot j\cdot }}}-{\overline {y}})^{2},$ $SS_{AB}=k\sum \limits _{i=1}^{a}\sum \limits _{j=1}^{b}({\overline {y_{ij\cdot }}}-{\overline {y_{i\cdot \cdot }}}-{\overline {y_{\cdot j\cdot }}}+{\overline {y}})^{2},$ $SS_{e}=\sum \limits _{i=1}^{a}\sum \limits _{j=1}^{b}\sum \limits _{l=1}^{k}(y_{ijl}-{\overline {y_{ij\cdot }}})^{2}.$

• średni kwadrat odchyleń: $MS_{A}={\frac {SS_{A}}{\upsilon _{A}}}={\frac {SS_{A}}{a-1}},$ $MS_{B}={\frac {SS_{B}}{\upsilon _{B}}}={\frac {SS_{B}}{b-1}},$ $MS_{AB}={\frac {SS_{AB}}{\upsilon _{AB}}}={\frac {SS_{AB}}{(a-1)(b-1)}},$ $MS_{e}={\frac {SS_{e}}{\upsilon _{e}}}={\frac {SS_{e}}{n-ab}}.$
• statystyka testowa: $F_{A}={\frac {MS_{A}}{MS_{e}}},$ $F_{B}={\frac {MS_{B}}{MS_{e}}},$ $F_{AB}={\frac {MS_{AB}}{MS_{e}}}.$
• wartość krytyczna odczytywana z tablic: $F_{v_{A},v_{e}},$ $F_{v_{B},v_{e}},$ $F_{v_{AB},v_{e}}.$

Jeżeli w świetle dokonanych szacunków, przy ustalonej wartości poziomu istotności $\alpha$, odczytana z tablic wartość krytyczna $F_{v_{z},v_{e}}$ jest mniejsza od wyliczonej wartości statystyki testowej $F_{z}$ – odrzucamy hipotezę zerową $H_{0}$ na rzecz hipotezy alternatywnej $H_{1}$.

Zobacz też

• analiza wariancji
• próba statystyczna
• test dla średniej
• test dla wariancji
• weryfikacja hipotez statystycznych