Wikiprojekt:SKFiz/brudnopis/Równanie Boltzmanna

Równanie Boltzmana (lub równanie transportu Boltzmana) w fizyce, dokładniej nierównowagowej mechanice statystycznej opisuje statystyczne zachowanie się [płyn|płynów] (cieczy i gazów) poza stanem równowagi. Równanie wyprowadzone przez Ludwika Boltzmanna w 1872.

W równanie tym nie rozpatrujemy statystycznych własności pozycji i pędów każdej cząsteczki, ale funkcję gęstości opisującą liczbę cząstek w zależności od położenia i prędkości. Opisuje ona liczbę cząstek, jaką można znaleźć w pewnej objętości i z określonego przedziału prędkości.

Równania Boltzmanna używa się do wyznaczenia, jak zmieniają się wielkości fizyczne, takie jak gęstość energii czy pęd, w czasie przepływu cieczy. Umożliwia również wyznaczenie makroskopowych wielkości charakteryzujących ciecz, takich jak lepkość, przewodność cieplna czy przewodność elektryczna.

In fact - the problem of existence and uniqueness of solutions is still not fully resolved, but some recent results are quite promising.[2][3]

Podstawy

Przestrzeń fazowa i funkcja gęstości

Zbiór wszystkich możliwych pozycji r i pędów p nazywamy przestrzenią fazową. Innymi słowy, jest to zbiór parametryzowany trzema współrzędnymi przestrzennymi x, y, z i trzema składowych pędu p_x, p_y, p_z. Powstała przestrzeń jest 6-wymiarowa. Punktem tej przestrzeni jest (r, p) = (x, y, z, p_x, p_y, p_z). Aby uwzględnić ewolucję, dodajemy kolejny wymiar - czas. Małą objętość (różniczkowy Element objętości) tej przestrzeni oznaczamy przez d³rd³p = dxdydzdp_xdp_ydp_z.

Głównym obiektem, na którym działa równanie Boltzmanna jest funkcja f(r, p, t) współrzędnych r, p, t, która określa rozkład gęstości cząstek w wyżej zdefiniowanej przestrzeni fazowej. Liczba cząstek w objętości d³rd³p w okolicy punktu r, p i czasie t wynosi: równa jest:

$dN=f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p}$

Całkując po pewnym obszarze przestrzennym $\Omega _{x}$ i zakresie składowych pędu $\Omega _{p}$ otrzymujemy liczbę cząsteczek z tego obszaru mających pędy w wyznaczonym przedziale:

$N=\int \limits _{\mathrm {\Omega _{x}} }d^{3}\mathbf {r} \int \limits _{\mathrm {\Omega _{p}} }d^{3}\mathbf {p} f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)=\iiint \limits _{\mathrm {\Omega _{x}} }\quad \iiint \limits _{\mathrm {\Omega _{p}} }f(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z},t)dxdydzdp_{x}dp_{y}dp_{z}$

Zakładamy, że wszystkie cząsteczki są identyczne i mają masę m.

Równanie ogólne

W ogólności równanie można zapisać:

${\frac {\partial f}{\partial t}}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {F} }+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {D} }+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {K} }$

Gdzie człon siła "F" odpowiada siłom zewnętrznym działającym na cząsteczki, człon "D" odpowiada dyfuzji cząstek, a człon C - "kolizji", czyli oddziaływaniom cząsteczek na siebie.

Siły zewnętrzne i człon dyfuzyjny

Rozważmy cząstki o rozkładzie f, na które działa zewnętrzna siła F.

Niech w chwili t pewne ilość cząstek znajduje się w objętości d³r wokół r i mają pęd p z zakresu d³p.

Suppose at time t some number of particles all have position r within element d³r and momentum p within d³p. If a force F instantly acts on each particle, then at time t + Δt their position will be r + Δr = r + pΔt/m and momentum p + Δp = p + FΔt. Then, in the absence of collisions, f must satisfy

$f\left(\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\Delta t,\mathbf {p} +\mathbf {F} \Delta t,t+\Delta t\right)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} =f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p}$

References

• On the Boltzmann equation part II: The full initial value problem. „Arch. Rational Mech. Anal.”. 45, s. 17–34, 1972. DOI: 10.1007/BF00253393. Bibcode: 1972ArRMA..45...17A. {{Cytuj pismo}} Nieznane pola: "last1", "author1-link" oraz "first1".
• On the Boltzmann equation part I: Existence. „Arch. Rational Mech. Anal.”. 45, s. 1–16, 1972. DOI: 10.1007/BF00253392. Bibcode: 1972ArRMA..45....1A. {{Cytuj pismo}} Nieznane pola: "last1" oraz "first1".
• On the Cauchy problem for Boltzmann equations: global existence and weak stability. „Ann. Of Math. (2)”. 130, s. 321–366, 1989. {{Cytuj pismo}} Nieznane pola: "last2", "first2", "first1" oraz "last1".