Zmienne Mandelstama

Zmienne Mandelstama – wielkości fizyczne używane w teoretycznym opisie zderzeń cząstek elementarnych. Niosą informację o względnych pędach cząstek przed i po zderzeniu, są przy tym relatywistycznie niezmiennicze, czyli ich wartości nie zależą od układu odniesienia w którym zderzenie jest obserwowane. Pierwszy raz zostały użyte do opisu zderzeń przez Stanleya Mandelstama w roku 1958 w pracy poświęconej teorii rozpraszania pionów na nukleonach.

Definicja

Przyjmijmy, że zderzają się dwie cząstki o czteropędach $p_{1}$ i $p_{2}$ i masach spoczynkowych odpowiednio $m_{1}$ i $m_{2}.$ Po zderzeniu mamy dwie cząstki o czteropędach $p_{3}$ i $p_{4}$ oraz masach $m_{3}$ i $m_{4}.$ Zmienne Mandelstama zdefiniowane są w tych oznaczeniach następująco:

$s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2},$

$t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{2}-p_{4})^{2},$

$u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{2}-p_{3})^{2}.$

Relatywistyczna niezmienniczość tych wielkości wynika bezpośrednio z faktu, że są one kwadratami długości czterowektorów.

Zmienna $s$ jest równa kwadratowi masy niezmienniczej układu (w układzie jednostek, w którym $c=1$). Zmienna $t$ jest kwadratem przekazu czteropędu w zderzeniu.

Zmienne Mandelstama nie są niezależne, związek pomiędzy nimi dany jest wzorem:

$s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}.$

Uwaga: niektórzy autorzy definiują zmienne $t$ i $u$ z odwrotnymi znakami. Definicja podana powyżej jest zgodna z konwencją propagowaną przez Particle Data Group i stosowaną przez większość fizyków.

Jednoznaczność definicji

Jak widać z powyższej definicji, zmiana numeracji uczestniczących w zderzeniu cząstek może prowadzić do zamiany rolami zmiennych $t$ i $u.$ Aby uniknąc niejednoznaczności przyjmuje się konwencyjnie, że przez 3 oznaczamy cząstkę identyczną z 1, lub, jeżeli obie cząstki w wyniku zderzenia zmieniają się na inne – cząstkę bardziej podobną do 1. Na przykład w rozpraszaniu Comptona

$\gamma e^{-}\to \gamma e^{-}$

za cząstkę 1 uważamy foton przed zderzeniem, zaś za cząstkę 3 foton rozproszony. Natomiast w reakcji:

$\pi ^{-}p\to \pi ^{0}n,$

jeżeli za cząstkę 1 uznamy $\pi ^{-},$ to za cząstkę 3 należy uznać neutralny pion. Tym samym zmienna $t$ będzie w tym wypadku kwadratem różnicy czteropędów pionów przed i po reakcji.

Wzory przybliżone

Wzór na $s$ można przekształcić do postaci:

$s=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}.$

Jeżeli energie zderzających się cząstek, mierzone w układzie środka masy, są znacznie większe od ich mas spoczynkowych, wówczas można w powyższym wzorze zaniedbać kwadraty mas, otrzymując wyrażenie przybliżone:

$s\approx 2p_{1}\cdot p_{2}\approx 2p_{3}\cdot p_{4}$

i analogicznie dla pozostałych zmiennych

$t\approx -2p_{1}\cdot p_{3}\approx -2p_{2}\cdot p_{4},$

$u\approx -2p_{1}\cdot p_{4}\approx -2p_{2}\cdot p_{3}.$

Klasyfikacja diagramamów Feynmana

Zderzenie dwuciałowe (czyli takie, w którym tak w stanie początkowym, jak i końcowym, mamy dwie cząstki) można w najniższym rzędzie rachunku zaburzeń opisać przedstawionymi poniżej diagramami Feynmana.

kanał s	kanał t	kanał u

Zmienne Mandelstama stały się źródłem nazw nadanych poszczególnym diagramom. I tak, w zderzeniu przebiegającym według schematu opisywanego przez pierwszy z diagramów cząstki 1 i 2 łączą się, tworząc wirtualną cząstkę o masie ${\sqrt {s}},$ która rozpada się następnie na końcowe produkty zderzenia. Ten schemat nazywany jest kanałem s reakcji.

Reakcja w kanale t przebiega w taki sposób, że pomiędzy zderzającymi się cząstkami wymieniana jest cząstka wirtualna. W wyniku oddziaływania z nią cząstka 1 zamienia się w 3, zaś 2 w 4. Kwadrat czteropędu wymienianej cząstki wirtualnej wynosi w tej sytuacji $t.$

Kanał u jest podobny do kanału t, z tym, że w wyniku emisji lub pochłonięcia cząstki wirtualnej, cząstka 1 zmienia się w 4, zaś 2 w 3. Kwadrat czteropędu wymienianej cząstki wynosi wtedy $u.$

Bibliografia

• Donald H. Perkins: Wstęp do fizyki wysokich energii. Wyd. II. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005. ISBN 83-01-14246-4.brak strony w książce
• Particle Data Group: C. Amsler et al.. Review of Particle Physics. „Physics Letters”. B667 (2008). s. 1. [dostęp 2008-11-04]. (ang.).