Średnia geometryczno-harmoniczna

Średnia geometryczno-harmoniczna dwóch liczb rzeczywistych dodatnich $g$ i $h$ – wspólna granica ciągów $(g_{n}),(h_{n})$ określonych rekurencyjnie:

$g_{0}=g,\quad h_{0}=h$

$g_{n+1}={\sqrt {g_{n}h_{n}}},\quad h_{n+1}={\frac {2}{{\tfrac {1}{g_{n}}}+{\tfrac {1}{h_{n}}}}}$

Granica ta istnieje dla dowolnych $g,$ $h$ rzeczywistych dodatnich, a dowód tego faktu jest analogiczny do dowodu istnienia średniej arytmetyczno-geometrycznej.

Przykład

Aby wyznaczyć średnią geometryczno-harmoniczną liczb $g_{0}=24$ i $h_{0}=6,$ najpierw należy wyliczyć wartości średnich:

${\begin{aligned}g_{1}&={\sqrt {24\cdot 6}}=12\\h_{1}&={\frac {2}{{\tfrac {1}{24}}+{\tfrac {1}{6}}}}=9{,}6\end{aligned}}$

i dalej rekurencyjnie:

$n$	$g_{n}$	$h_{n}$
0	24	6
1	12	9,6
2	10,733126291999…	10,666666666666…
3	10,699844879622…	10,699793280161…
4	10,699819079861…	10,699819079829…
5	10,699819079845…	10,699819079845…

Własności

Przy oznaczeniach:

• $AGM(a,b)$ – średnia arytmetyczno-geometryczna liczb $a$ i $b,$
• $GHM(a,b)$ – średnia geometryczno-harmoniczna liczb $a$ i $b$

zachodzą następujące zależności:

$GHM(x,y)={\frac {1}{AGM({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}})}},$

$GHM(\lambda a,\lambda b)=\lambda GHM(a,b),\quad {}{\text{dla}}\;\lambda >0,$

$\min(x,y)\leqslant {\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}\leqslant GHM(x,y)\leqslant {\sqrt {xy}}\leqslant AGM(x,y)\leqslant {\frac {x+y}{2}}\leqslant \max(x,y).$

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Harmonic-Geometric Mean, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13]  (ang.).