Algorytm linearyzacji statycznej

Algorytm linearyzacji statycznej – jeden z algorytmów służących do sterowania manipulatorem elastycznym. Pozwala on zamienić nieliniowy układ w poczwórny integrator.

Model

Model manipulatora zapisany jest jako:

$M_{1}q_{1}^{''}+Cq_{1}^{'}+D_{1}+K(q_{1}-q_{2})=0$

$Iq_{2}^{''}+K(q_{2}-q_{1})=u$

Równoważny opis obiektu

Powyższy model można zapisać także w innej postaci. W tym celu wprowadza się nowe zmienne:

$x_{1}=q_{1},$

$x_{2}=q_{1}^{'},$

$x_{3}=q_{2},$

$x_{4}=q_{2}^{'},$

a następnie wyznacza się ich pochodne (wzory zostały uproszczone, aby nie komplikować zapisu):

$x_{1}^{'}=x_{2}$

$x_{2}^{'}=F(x_{1},x_{2})+H_{1}(x_{1})x_{3}$

$x_{3}^{'}=x_{4}$

$x_{4}^{'}=H_{2}(x_{1},x_{3})+I^{-1}u.$

Zmiana współrzędnych

W kolejnym kroku wprowadzane są współrzędne linearyzujące.

$\xi _{1}=x_{1},$

$\xi _{2}=x_{2},$

$\xi _{3}=F(x_{1},x_{2})+H_{1}(x_{1})x_{3},$

$\xi _{4}=H_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})+H_{1}(x_{1})x_{4}.$

Podobnie jak wcześniej wyznaczane są ich pochodne:

$\xi _{1}^{'}=x_{1}^{'}=x_{2}=\xi _{2},$

$\xi _{2}^{'}=x_{2}^{'}=\xi _{3},$

$\xi _{3}^{'}=\xi _{4},$

$\xi _{4}^{'}=H_{4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})+H_{1}(x_{1})I^{-1}u.$

Sprzężenie statyczne

Na koniec wprowadzane jest sprzężenie, którego zadaniem będzie pozbycie się nieliniowości ze wzoru na $\xi _{4}^{'}{:}$

$u=IK^{-1}M_{1}^{-1}[-H_{4}+v],$

gdzie $v$ to nowe sterowanie.

Uzyskiwany jest w ten sposób układ zapisany jako:

$\xi _{1}^{'}=x_{1}^{'}=x_{2}=\xi _{2},$

$\xi _{2}^{'}=x_{2}^{'}=\xi _{3},$

$\xi _{3}^{'}=\xi _{4},$

$\xi _{4}^{'}=v.$

Jest to poczwórny integrator (układ składający się z czterech modułów całkujących).

Śledzenie trajektorii

Zadaniem układu jest śledzenie zadanej trajektorii, tzn. $e=q_{1}-q_{1d}\to 0.$ Po zastosowaniu sterowania $v$ o odpowiedniej postaci uzyskiwany jest warunek na eksponencjalną zbieżność błędu do zera:

$e^{(4)}+K_{3}e^{(3)}+K_{2}e^{(2)}+K_{1}e^{(1)}+K_{0}e=0.$

W tym przypadku wartości $K_{i}$ wyznaczane są z twierdzenia Hurwitza.

Zobacz też

• algorytm całkowania wstecznego

Bibliografia

• K.Tchoń, A.Mazur, I.Dulęba, R.Hossa, R.Muszyński, Manipulatory i roboty mobilne. Modele, planowanie ruchu, sterowanie, Warszawa 2000 (ISBN 83-7101-427-9).