Przestrzeń fazowa

Przestrzeń fazowa (przestrzeń stanów) – przestrzeń przypisana do danego układu dynamicznego; osie współrzędnych reprezentują różne wielkości fizyczne (w ogólności np. współrzędne uogólnione i pędy uogólnione), pozwalające jednoznacznie opisać stanu tego układu, tzn. każdy punkt przestrzeni fazowej przedstawia jeden możliwy stan układu.

Trajektoria oscylatora Duffinga. Na osi pionowej jest prędkość oscylatora, na osi poziomej jego położenie.

Dwuwymiarowa przestrzeń stanów układu poruszającego się w jednym wymiarze. Na osi pionowej jest prędkość układu, na osi poziomej jego położenie. Układ zaczyna ruch od położenia x=0,71 i prędkości v=0,02. Trajektoria ma postać rozbieżnej spirali.

W mechanice klasycznej przestrzeń stanów układu cząstek materialnych jest reprezentowana przez położenia i pędy poszczególnych cząstek. Np. stan jednej cząstki w przestrzeni $3D$ jest określony w pełni, jeżeli są dane współrzędne położenia i współrzędne pędu cząstki, tj.$x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}.$

W termodynamice przestrzeń stanów stałej porcji substancji jest reprezentowana przez ciśnienie i temperaturę (lub ciśnienie i objętość itd.).

Koncepcja przestrzeni stanów rozwinęli w późnych latach XIX wieku Ludwig Boltzmann, Henri Poincaré oraz Josiah Willard Gibbs.

Jeżeli układ zmienia swój stan w czasie, to kreśli w przestrzeni stanów krzywą zwaną trajektorią, krzywą fazową lub orbitą.

Liczba wymiarów przestrzeni stanów

Przestrzeń stanów jest wielowymiarowa:

• każdy stopień swobody układu mechanicznego jest opisywany za pomocą współrzędnej kartezjańskiej lub współrzędnej uogólnionej; każdej współrzędnej odpowiada osobny wymiar przestrzeni,
• ponadto dochodzą wymiary związane z prędkościami lub prędkościami uogólnionymi (czyli zmianami współrzędnych uogólnionych w czasie); zamiast prędkości używa się też pędów.

Przykłady

• Dla cząstki poruszającej się w jednym kierunku przestrzeń stanów ma dwa wymiary, odpowiadające położeniu i prędkości cząstki.
• Dla 1 mola gazu rzeczywistego wymiar przestrzeni stanów możemy oszacować w następujący sposób: przy 1 molu gazu (w przybliżeniu 6×10²³ cząstek), zadając dla każdej cząstki kolejno 3 wymiary związane z jej położeniem, 3 ze składowymi prędkości wzdłuż każdej osi, a także wymiary związane z drganiami cząsteczki, jej obrotami w przestrzeni, jak i obrotami składowych elementów cząstki wokół osi wiązania, otrzymujemy zestaw wymiarów w przestrzeni rzędu 10²⁴ – 10²⁵.

Przestrzeń stanów w fizyce klasycznej

W fizyce klasycznej ze znajomości położenia i prędkości układu można wyliczyć stan układu w dowolnej chwili w przyszłości i przeszłości. Oznacza to, że ewolucja układu jest w pełni zdeterminowana. Ruchowi takiego układu odpowiada w przestrzeni fazowej trajektoria złożona z kolejnych stanów, jakie układ zajmował lub będzie zajmował z upływem czasu. Z kształtu trajektorii można poznać różne własności układu, co jest szczególnie przydatne w analizie układów złożonych. Własnością trajektorii deterministycznych jest, że wzajemnie się nie przecinają.

Gdy stan układu jest opisany za pomocą współrzędnych położenia i prędkości, to trajektorie w przestrzeni fazowej spełniają twierdzenie Liouville’a, mówiące że objętość dowolnego regionu przestrzeni nie zmienia się w trakcie jego ewolucji (o ile nie następują straty energii).

W termodynamice i mechanice statystycznej opisywanie położenia i prędkości każdej cząstki jest niewykonalne, dlatego używa się przestrzeni definiowanej przez makroskopowe parametry układu, takie jak ciśnienie i temperatura. Punkt takiej przestrzeni określa się jako makrostan.

Przestrzeń fazowa w fizyce kwantowej

W fizyce kwantowej w ujęciu kopenhaskim nie przypisuje się układom fizycznym żadnych trajektorii, co prowadzi do paradoksu pomiaru.

W teorii fali pilotującej de Broglie’a-Bohma układom kwantowym przypisuje się trajektorie deterministyczne: trajektorie te różnią się od trajektorii przewidywanych przez fizykę klasyczną wtedy, gdy pojawiają się efekty kwantowe, takie jak interferencja.

Zobacz też

• atraktor
• chaos deterministyczny
• dynamika molekularna
• płaszczyzna fazowa
• przestrzeń konfiguracyjna
• rozmaitość symplektyczna
• układ dynamiczny
• układ Lorenza
• wiązka kostyczna

Bibliografia

• G. Białkowski, Mechanika klasyczna, Warszawa: PWN, 1975, s. 429–487.
• Wojciech Królikowski, Wojciech Rubinowicz, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 2012.
• F. Reif, Fizyka statystyczna, Warszawa: PWN, 1973.